Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2637
2017-04-02 
Два одинаковых металлических шарика массы $m = 1,0 г$ подвешены в одной точке на двух непроводящих нитях длины $l = 15см$. Если шарики зарядить, нити отклоняются. На графике дана зависимость угла отклонения $\theta$ от вертикали каждой нити (при равных зарядах на шариках) от величины заряда шарика. Шарики зарядили так, что нити отклонились на угол $\theta = 50^{ \circ}$. После этого «включили» однородное горизонтальное электрическое поле напряженности $E = 1,5 \cdot 10^{5} В/м$. Найдите угол между нитями после включения поля.
Решение:
Рассмотрим условия равно весия шариков. На каждый из них действуют $m \vec{g}$ - сила тяжести, $\vec{F}$ - сила кулоновского отталкивания, $\vec{T}$ - сила натяжения нити. Шарики будут находится в равновесии, когда суммарный момент сил, действующих на них будет равен нулю, что будет выполняться при
$mgl \sin \theta = Fl \cos \theta$. (1)
Учитывая, что
$F = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} (2l \sin \theta)^{2}}$. (2)
получим уравнение, определяющее угол отклонения нити
$\frac{ \sin^{3} \theta}{ \cos \theta} = \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} l^{2} mg}$. (3)
Приведенный в условии график, фактически является решением этого уравнения для различных значений $q$ (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой). По этому графику можно найти величину заряда каждого шарика $q \approx 2,6 \cdot 10^{-7} Кл$.
При включении однородного электрического поля на шарики начинает действовать дополнительная сила, которая постоянна и не зависит от положения шариков, так же как и сила тяжести . В таком случае разумно «объединить» эту силу с силой тяжести и ввести, так называемое, «эффективное» ускорение свободного падения $\vec{g}^{*}$, модуль которого
$g^{*} = g \sqrt{ 1 + \left ( \frac{qE}{mg} \right )^{2} }$. (4)
Тогда угол отклонения $\theta_{1}$ каждой нити от направления вектора $\vec{g}^{*}$ можно найти как решение уравнения (3), в котором необходимо заменить $g$ на $g^{*}$
$\frac{ \sin^{3} \theta_{1}}{ \cos \theta_{1}} = \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} l^{2} mg^{*}}$. (5)
К сожалению, это уравнение элементарными методами не разрешимо. Поэтому еще раз воспользуемся предоставленным графиком, для чего перепишем (5) в виде
$\frac{ \sin^{3} \theta_{1}}{ \cos \theta_{1}} = \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} l^{2} mg^{*}} = \frac{ \left ( \sqrt{ \frac{g}{g^{*}}} q \right )^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} l^{2} mg^{*}}$ (6)
Как видно, это уравнений полносью совпадает с уравнением (3), если в качестве пареметра $q$ использовать величину
$q^{*} = \sqrt{ \frac{g}{g^{*}}} q = \frac{q}{ \sqrt[4]{1 + \left ( \frac{qE}{vg} \right )}} \approx 10 \cdot 10^{-7} K$.
По графику находим $\theta_{1} \approx 27^{ \circ}$, следовательно, искомый угол между нитями равен $2 \theta_{1} \approx 54^{ \circ}$.
Два одинаковых металлических шарика массы $m = 1,0 г$ подвешены в одной точке на двух непроводящих нитях длины $l = 15см$. Если шарики зарядить, нити отклоняются. На графике дана зависимость угла отклонения $\theta$ от вертикали каждой нити (при равных зарядах на шариках) от величины заряда шарика. Шарики зарядили так, что нити отклонились на угол $\theta = 50^{ \circ}$. После этого «включили» однородное горизонтальное электрическое поле напряженности $E = 1,5 \cdot 10^{5} В/м$. Найдите угол между нитями после включения поля.
Решение:
Рассмотрим условия равно весия шариков. На каждый из них действуют $m \vec{g}$ - сила тяжести, $\vec{F}$ - сила кулоновского отталкивания, $\vec{T}$ - сила натяжения нити. Шарики будут находится в равновесии, когда суммарный момент сил, действующих на них будет равен нулю, что будет выполняться при
$mgl \sin \theta = Fl \cos \theta$. (1)
Учитывая, что
$F = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} (2l \sin \theta)^{2}}$. (2)
получим уравнение, определяющее угол отклонения нити
$\frac{ \sin^{3} \theta}{ \cos \theta} = \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} l^{2} mg}$. (3)
Приведенный в условии график, фактически является решением этого уравнения для различных значений $q$ (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой). По этому графику можно найти величину заряда каждого шарика $q \approx 2,6 \cdot 10^{-7} Кл$.
При включении однородного электрического поля на шарики начинает действовать дополнительная сила, которая постоянна и не зависит от положения шариков, так же как и сила тяжести . В таком случае разумно «объединить» эту силу с силой тяжести и ввести, так называемое, «эффективное» ускорение свободного падения $\vec{g}^{*}$, модуль которого
$g^{*} = g \sqrt{ 1 + \left ( \frac{qE}{mg} \right )^{2} }$. (4)
Тогда угол отклонения $\theta_{1}$ каждой нити от направления вектора $\vec{g}^{*}$ можно найти как решение уравнения (3), в котором необходимо заменить $g$ на $g^{*}$
$\frac{ \sin^{3} \theta_{1}}{ \cos \theta_{1}} = \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} l^{2} mg^{*}}$. (5)
К сожалению, это уравнение элементарными методами не разрешимо. Поэтому еще раз воспользуемся предоставленным графиком, для чего перепишем (5) в виде
$\frac{ \sin^{3} \theta_{1}}{ \cos \theta_{1}} = \frac{q^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} l^{2} mg^{*}} = \frac{ \left ( \sqrt{ \frac{g}{g^{*}}} q \right )^{2}}{16 \pi \epsilon_{0} l^{2} mg^{*}}$ (6)
Как видно, это уравнений полносью совпадает с уравнением (3), если в качестве пареметра $q$ использовать величину
$q^{*} = \sqrt{ \frac{g}{g^{*}}} q = \frac{q}{ \sqrt[4]{1 + \left ( \frac{qE}{vg} \right )}} \approx 10 \cdot 10^{-7} K$.
По графику находим $\theta_{1} \approx 27^{ \circ}$, следовательно, искомый угол между нитями равен $2 \theta_{1} \approx 54^{ \circ}$.
