Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2636
2017-04-02 
Тепловой насос работает по идеальному обратному циклу Карно, забирая теплоту из теплоизолированного сосуда 1, содержащего $m_{1} = 3,0 кг$ воды при температуре $t_{1} = 30^{ \circ} С$ и передавая ее сосуду 2, содержащему $m_{2} = 1,0кг$ горячей воды, находящейся при температуре кипения $t_{2} = 100^{ \circ} С$. Какая температура установится в сосуде 1, когда в сосуде 2 вся вода выкипит? Какую работу совершит при этом тепловой насос? Теплоемкость воды $c_{1} = 4,2кДж / (кг \cdot К)$; теплоемкость льда $c_{2} = 2,1кДж /(кг \cdot К)$; удельная теплота парообразования $r = 2260 кДж/кг$; удельная теплота плавления льда $\lambda = 336 кДж/кг$.
Решение:
Для идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, выполняется соотношение
$\frac{Q_{1}}{T_{1}} = \frac{Q_{2}}{T_{2}}$, (1)
где $Q_{1},Q_{2}$ - теплоты отданная нагревателем и полученная холодильником; $T_{1},T_{2}$ - температуры нагревателя и холодильника, соответственно. Это же соотношение выполняется и для холодильной машины, работающей по обратному циклу, в котором от холодильника теплоту забирают и передают нагревателю. Мы используем соотношение (1), для того чтобы рассчитать количество теплоты, забранное у холодильника.
Принцип работы холодильной машины представлен на рисунке в виде схемы: из сосуда 1, содержащего воду при температуре $T_{1}$ холодильник забирает $Q_{1}$ теплоты, при этом внешние силы совершают работу $A$ и количество теплоты $Q_{2} = Q_{1} + A$ передается сосуду 2, в котором находится вода при температуре $T_{2}$. Так как вода в сосуде 2 находится при температуре кипения, то эта температура изменяться не будет. Вода же в сосуде 1 будет остывать, возможно, затем замерзать. Поэтому необходимо проводить расчеты поэтапно с количественными результатами на каждом этапе.
Первый этап. Остывание воды до температуры замерзания.
Холодильник забирает количество теплоты
$Q_{1}^{ \prime} = c_{1} n_{1} \Delta t_{1} = 0,38МДж$,
где $\Delta t_{1} = 30^{ \circ } С$ - изменение температуры воды в первом сосуде. В процессе остывания температура изменяется, поэтому строго говоря , для вычисления количества теплоты переданной в сосуд 1, необходимо рассматривать процесс, разбивая его на бесконечно малые участки. Однако, так как относительное изменение абсолютной температуры не велико (порядка 10%), то мы в расчетах примем среднее значение температуры $T_{1}^{ \prime} = 273 + 15 = 288 К$. На этом этапе сосуд 2 получит
$Q_{2}^{ \prime} = \frac{T_{2}}{T_{1}^{ \prime}} Q_{1}^{ \prime} = 0.49 МДж$.
Этого количества теплоты хватит, чтобы испарить
$\Delta m_{2}^{ \prime} = \frac{ Q_{2}^{ \prime}}{r} = 0.22 кг$
воды (вся вода не испарилась - надо греть дальше). Работа, совершенная на первом этапе
$A^{ \prime} = Q_{2}^{ \prime} - Q_{1}^{ \prime} = 0.11 МДж$.
Второй этап. Замерзание воды.
Сосуд 1 отдаст
$Q_{1}^{ \prime \prime} = \lambda m_{1} = 1,0 МДж$;
сосуд 2 получит
$Q_{2}^{ \prime \prime} = \frac{T_{2}}{T_{1}^{ \prime \prime}} Q_{}^{ \prime \prime} = 1,37 МДж$,
(здесь $T_{1}^{ \prime \prime} = 273 К$ - температура замерзания воды); при этом испарится
$\Delta m_{2}^{ \prime \prime} = \frac{Q_{2}^{ \prime \prime}}{r} = 0,61кг$,
совершена работа
$A^{ \prime \prime} = Q_{2}^{ \prime \prime} - Q_{1}^{ \prime \prime} = 0,37 МДж$.
Как следует, из полученных расчетов, и после этого этапа не вся вода испарилась, осталось $\Delta m_{2}^{ \prime \prime \prime} = m_{2} - \Delta m_{2}^{ \prime} - \Delta m_{2}^{ \prime \prime} = 0,17 кг$.
Третий этап. Остывание льда.
На этом этапе нам необходимо решать обратную задачу - легко найти количество теплоты, которое получит кипящая вода $Q_{2}^{ \prime \prime \prime} = r \Delta m_{2}^{ \prime \prime \prime} = 0,38 МДж$. Требуется определить сколько теплоты отдаст лед. На этом этапе температура $T_{1}$ так же изменяется, но мы по прежнему в расчетах используем ее среднее значение $T_{1}^{ \prime \prime \prime} = T_{1}^{ \prime \prime} - \frac{ \Delta t_{2}}{2}$, где $\Delta t_{2}$ - изменение температуры льда. Тогда $Q_{1}^{ \prime \prime \prime} = c_{2}m_{1} \Delta t_{2}$, а по формуле (1) $Q_{1}^{ \prime \prime \prime} = \frac{T_{1}^{ \prime \prime \prime}}{T_{2}} Q_{2}^{ \prime \prime \prime}$. Приравнивая эти два выражения, найдем
$\Delta t_{2} = T_{1}^{ \prime \prime} \left ( \frac{c_{2}m_{1}T_{2}}{ Q_{2}^{ \prime \prime \prime}} + \frac{1}{2} \right )^{-1} = 41^{ \circ}$.
Таким образом, в сосуде 1 будет находится лед при температуре - $41^{ \circ} С$.
На третьем этапе лед отдаст $Q_{1}^{ \prime \prime \prime} = c_{2}m_{1} \Delta t_{2} = 0,26 МДж$ теплоты, следовательно совершена работа
$A^{ \prime \prime \prime} = Q_{2}^{ \prime \prime \prime} - Q_{1}^{ \prime \prime \prime} = 0,12МДж$.
Итого, в процессе испарения воды будет совершена работа $A = A^{ \prime } + A^{ \prime \prime } + A^{ \prime \prime \prime} = 0,60МДж$. Заметим, что количество теплоты, которое отдал сосуд 1 $Q_{1} = 1,64 МДж$, в два с половиной раза больше, чем совершенная работа.
Для того чтобы точно расчитать количество теплоты, полученное сосудом два, при изменении температуры в первом сосуде необходимо рассмотреть бесконечно малый участок этого процесса. Тогда
$d Q_{2} = T_{2} \frac{dQ_{1}}{T_{1}} = T_{2} \frac{c_{1}m_{1}dT_{1}}{T_{1}}$.
интегрируя это выражение получим
$Q_{2}^{ \prime }= c_{1}m_{1} T_{2} ln \frac{T_{1}}{T_{1}^{ \prime \prime }}$.
Отличие численного значения, расчитанного по этой формуле, от полученного ранее менее чем на 0,1 %.
Тепловой насос работает по идеальному обратному циклу Карно, забирая теплоту из теплоизолированного сосуда 1, содержащего $m_{1} = 3,0 кг$ воды при температуре $t_{1} = 30^{ \circ} С$ и передавая ее сосуду 2, содержащему $m_{2} = 1,0кг$ горячей воды, находящейся при температуре кипения $t_{2} = 100^{ \circ} С$. Какая температура установится в сосуде 1, когда в сосуде 2 вся вода выкипит? Какую работу совершит при этом тепловой насос? Теплоемкость воды $c_{1} = 4,2кДж / (кг \cdot К)$; теплоемкость льда $c_{2} = 2,1кДж /(кг \cdot К)$; удельная теплота парообразования $r = 2260 кДж/кг$; удельная теплота плавления льда $\lambda = 336 кДж/кг$.
Решение:
Для идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, выполняется соотношение
$\frac{Q_{1}}{T_{1}} = \frac{Q_{2}}{T_{2}}$, (1)
где $Q_{1},Q_{2}$ - теплоты отданная нагревателем и полученная холодильником; $T_{1},T_{2}$ - температуры нагревателя и холодильника, соответственно. Это же соотношение выполняется и для холодильной машины, работающей по обратному циклу, в котором от холодильника теплоту забирают и передают нагревателю. Мы используем соотношение (1), для того чтобы рассчитать количество теплоты, забранное у холодильника.
Принцип работы холодильной машины представлен на рисунке в виде схемы: из сосуда 1, содержащего воду при температуре $T_{1}$ холодильник забирает $Q_{1}$ теплоты, при этом внешние силы совершают работу $A$ и количество теплоты $Q_{2} = Q_{1} + A$ передается сосуду 2, в котором находится вода при температуре $T_{2}$. Так как вода в сосуде 2 находится при температуре кипения, то эта температура изменяться не будет. Вода же в сосуде 1 будет остывать, возможно, затем замерзать. Поэтому необходимо проводить расчеты поэтапно с количественными результатами на каждом этапе.
Первый этап. Остывание воды до температуры замерзания.
Холодильник забирает количество теплоты
$Q_{1}^{ \prime} = c_{1} n_{1} \Delta t_{1} = 0,38МДж$,
где $\Delta t_{1} = 30^{ \circ } С$ - изменение температуры воды в первом сосуде. В процессе остывания температура изменяется, поэтому строго говоря , для вычисления количества теплоты переданной в сосуд 1, необходимо рассматривать процесс, разбивая его на бесконечно малые участки. Однако, так как относительное изменение абсолютной температуры не велико (порядка 10%), то мы в расчетах примем среднее значение температуры $T_{1}^{ \prime} = 273 + 15 = 288 К$. На этом этапе сосуд 2 получит
$Q_{2}^{ \prime} = \frac{T_{2}}{T_{1}^{ \prime}} Q_{1}^{ \prime} = 0.49 МДж$.
Этого количества теплоты хватит, чтобы испарить
$\Delta m_{2}^{ \prime} = \frac{ Q_{2}^{ \prime}}{r} = 0.22 кг$
воды (вся вода не испарилась - надо греть дальше). Работа, совершенная на первом этапе
$A^{ \prime} = Q_{2}^{ \prime} - Q_{1}^{ \prime} = 0.11 МДж$.
Второй этап. Замерзание воды.
Сосуд 1 отдаст
$Q_{1}^{ \prime \prime} = \lambda m_{1} = 1,0 МДж$;
сосуд 2 получит
$Q_{2}^{ \prime \prime} = \frac{T_{2}}{T_{1}^{ \prime \prime}} Q_{}^{ \prime \prime} = 1,37 МДж$,
(здесь $T_{1}^{ \prime \prime} = 273 К$ - температура замерзания воды); при этом испарится
$\Delta m_{2}^{ \prime \prime} = \frac{Q_{2}^{ \prime \prime}}{r} = 0,61кг$,
совершена работа
$A^{ \prime \prime} = Q_{2}^{ \prime \prime} - Q_{1}^{ \prime \prime} = 0,37 МДж$.
Как следует, из полученных расчетов, и после этого этапа не вся вода испарилась, осталось $\Delta m_{2}^{ \prime \prime \prime} = m_{2} - \Delta m_{2}^{ \prime} - \Delta m_{2}^{ \prime \prime} = 0,17 кг$.
Третий этап. Остывание льда.
На этом этапе нам необходимо решать обратную задачу - легко найти количество теплоты, которое получит кипящая вода $Q_{2}^{ \prime \prime \prime} = r \Delta m_{2}^{ \prime \prime \prime} = 0,38 МДж$. Требуется определить сколько теплоты отдаст лед. На этом этапе температура $T_{1}$ так же изменяется, но мы по прежнему в расчетах используем ее среднее значение $T_{1}^{ \prime \prime \prime} = T_{1}^{ \prime \prime} - \frac{ \Delta t_{2}}{2}$, где $\Delta t_{2}$ - изменение температуры льда. Тогда $Q_{1}^{ \prime \prime \prime} = c_{2}m_{1} \Delta t_{2}$, а по формуле (1) $Q_{1}^{ \prime \prime \prime} = \frac{T_{1}^{ \prime \prime \prime}}{T_{2}} Q_{2}^{ \prime \prime \prime}$. Приравнивая эти два выражения, найдем
$\Delta t_{2} = T_{1}^{ \prime \prime} \left ( \frac{c_{2}m_{1}T_{2}}{ Q_{2}^{ \prime \prime \prime}} + \frac{1}{2} \right )^{-1} = 41^{ \circ}$.
Таким образом, в сосуде 1 будет находится лед при температуре - $41^{ \circ} С$.
На третьем этапе лед отдаст $Q_{1}^{ \prime \prime \prime} = c_{2}m_{1} \Delta t_{2} = 0,26 МДж$ теплоты, следовательно совершена работа
$A^{ \prime \prime \prime} = Q_{2}^{ \prime \prime \prime} - Q_{1}^{ \prime \prime \prime} = 0,12МДж$.
Итого, в процессе испарения воды будет совершена работа $A = A^{ \prime } + A^{ \prime \prime } + A^{ \prime \prime \prime} = 0,60МДж$. Заметим, что количество теплоты, которое отдал сосуд 1 $Q_{1} = 1,64 МДж$, в два с половиной раза больше, чем совершенная работа.
Для того чтобы точно расчитать количество теплоты, полученное сосудом два, при изменении температуры в первом сосуде необходимо рассмотреть бесконечно малый участок этого процесса. Тогда
$d Q_{2} = T_{2} \frac{dQ_{1}}{T_{1}} = T_{2} \frac{c_{1}m_{1}dT_{1}}{T_{1}}$.
интегрируя это выражение получим
$Q_{2}^{ \prime }= c_{1}m_{1} T_{2} ln \frac{T_{1}}{T_{1}^{ \prime \prime }}$.
Отличие численного значения, расчитанного по этой формуле, от полученного ранее менее чем на 0,1 %.
