Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2635
2017-04-02 
Два одинаковых цилиндрических бака расположены один над другим и соединены между собой трубой с насосом. Баки частично заполнены водой. Площади оснований баков равны $S$. На сколько изменится вес всей системы, когда насос начнет перекачивать воду из нижнего бака в верхний с постоянной скоростью $V( м^{3}/с)$? А если насос будет перекачивать воду из верхнего в нижний с той же скоростью?
Решение:
Для решения данной задачи удобно воспользоваться уравнением движения для системы тел: произведение массы системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на систему. В данном случае
$Ma_{c} = P - Mg$, (1)
где $M$- масса всей системы, $P$ - ее вес, $a_{c}$ - ускорение центра масс. Когда вода (а, следовательно и центр масс) неподвижна, то вес системы $P_{0}$ равен силе тяжести $Mg$. Поэтому изменение веса при перекачке воды определяется выражением
$\Delta P = Ma_{c}$. (2)
При перекачке уровни воды в сосудах $h_{1}$ и $h_{2}$ будут изменяться, конечно, по линейному закону
$h_{1} = h_{10} + \frac{V}{S} t$
$h_{2} = h_{20} - \frac{V}{S} t$ (3)
но положение центра масс всей системы будет изменяться по закону квадратичному. Действительно, высота центра масс $Z_{c}$ может быть найдена из уравнения
$MZ_{c} = M_{0}Z_{0} + \rho Sh_{1} \left ( l + \frac{h_{1}}{2} \right ) + \rho Sh_{2} \frac{h_{2}}{2}$, (4)
где $M_{0}, Z_{0}$ - масса и высота центра масс установки без воды, $L$ -высота верхнего бака. Подставляя выражения (3), получим
$MZ_{c} = M_{0}Z_{0} + \rho Slh_{10} + \frac{l}{2} \rho S h_{10}^{2} + \frac{1}{2} \rho S h_{20}^{2} + \rho V (l + h_{10} + h_{20})t + \rho \frac{V^{2}}{S} t^{2}$. (5)
Из выражений (2) и (5) следует
$\Delta P = Ma_{c} = 2 \rho \frac{V^{2}}{S}$
Заметим, что ответ не зависит от того, перекачивают воду вверх или вниз. Может эта задача вам покажется более понятной, если Вы проведете аналогию с двумя грузами, подвешенными на нити, перекинутой через блок . При ускоренном движении грузов вес всей системы также изменяется. Замените грузы тяжелой однородной веревкой и Вы получите простейший механический аналог этой задачи.
Два одинаковых цилиндрических бака расположены один над другим и соединены между собой трубой с насосом. Баки частично заполнены водой. Площади оснований баков равны $S$. На сколько изменится вес всей системы, когда насос начнет перекачивать воду из нижнего бака в верхний с постоянной скоростью $V( м^{3}/с)$? А если насос будет перекачивать воду из верхнего в нижний с той же скоростью?
Решение:
Для решения данной задачи удобно воспользоваться уравнением движения для системы тел: произведение массы системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на систему. В данном случае
$Ma_{c} = P - Mg$, (1)
где $M$- масса всей системы, $P$ - ее вес, $a_{c}$ - ускорение центра масс. Когда вода (а, следовательно и центр масс) неподвижна, то вес системы $P_{0}$ равен силе тяжести $Mg$. Поэтому изменение веса при перекачке воды определяется выражением
$\Delta P = Ma_{c}$. (2)
При перекачке уровни воды в сосудах $h_{1}$ и $h_{2}$ будут изменяться, конечно, по линейному закону
$h_{1} = h_{10} + \frac{V}{S} t$
$h_{2} = h_{20} - \frac{V}{S} t$ (3)
но положение центра масс всей системы будет изменяться по закону квадратичному. Действительно, высота центра масс $Z_{c}$ может быть найдена из уравнения
$MZ_{c} = M_{0}Z_{0} + \rho Sh_{1} \left ( l + \frac{h_{1}}{2} \right ) + \rho Sh_{2} \frac{h_{2}}{2}$, (4)
где $M_{0}, Z_{0}$ - масса и высота центра масс установки без воды, $L$ -высота верхнего бака. Подставляя выражения (3), получим
$MZ_{c} = M_{0}Z_{0} + \rho Slh_{10} + \frac{l}{2} \rho S h_{10}^{2} + \frac{1}{2} \rho S h_{20}^{2} + \rho V (l + h_{10} + h_{20})t + \rho \frac{V^{2}}{S} t^{2}$. (5)
Из выражений (2) и (5) следует
$\Delta P = Ma_{c} = 2 \rho \frac{V^{2}}{S}$
Заметим, что ответ не зависит от того, перекачивают воду вверх или вниз. Может эта задача вам покажется более понятной, если Вы проведете аналогию с двумя грузами, подвешенными на нити, перекинутой через блок . При ускоренном движении грузов вес всей системы также изменяется. Замените грузы тяжелой однородной веревкой и Вы получите простейший механический аналог этой задачи.
