Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2633
2017-04-02 
Однородную гибкую нерастяжимую веревку массы $M$ и длины $L$ втаскивают на гладкую горку высоты $h$, профиль которой показан на рисунке, под действием постоянной горизонтельно направленной силы $F$. Определите ускорение веревки.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на небольшой участок веревки длиной $\Delta l_{i}$ - сила тяжести $\Delta m_{i} \vec{g}$, и натяжения веревки с двух сторон от выделенного участка $\vec{T}_{1i}$ и $\vec{T}_{2i}$. Запишем уравнение второго закона Ньютона для выделенного кусочка в проекции на направление самого участка (на рисунке обозначена ось х):
$\Delta m_{i} a = T_{2i} - T_{1i} - \Delta m_{i} g \cos \alpha_{i}$,
Выразим массу кусочка уравнение $\Delta m_{i} = \frac{m}{L} \Delta l_{i}$ и подставим в полученное уравнение
$\frac{m}{L} \Delta_{i} a = T_{2i} - T_{1i} - \frac{mg}{L} \Delta l_{i} \cos \alpha_{i}$,
где $a$ - ускорение веревки.
Просуммируем уравнения, относящиеся ко всем участкам веревки. Учтем, что силы натяжения отдельных участков встречаются дважды, причем с различными знаками, поэтому их сумма для всех внутренних участков обратится в нуль, останется только сила натяжения одного из концов веревки (то есть $F$). Очевидно, что сумма длин $\Delta l_{i}$ равна длине веревки $L$; величина $\Delta l_{i} \cos \alpha_{i} = \Delta h_{i}$ есть разность высот концов выделенного участка, поэтому сумма этин величин равна h . Таким образом, после суммирования получим
$ma = F - \frac{h}{L} mg$.
Откуда находим ускорение
$a = \frac{F}{m} - \frac{h}{L}g$.
Данная задача может быть также легко решена с использованием энергетического подхода. Пусть за время $\Delta t$ веревка сместилась на расстояние $\Delta x$, тогда сила $F$ совершила работу $A = F \Delta x$, которая пошла на увеличение кинетической $\Delta E_{кин} = \Delta \left ( \frac{mv^{2}}{2} \right ) = mv \Delta v$ и потенциальной энергии $\Delta E_{пот} = m \frac{ \Delta x}{L} gh$ веревки.
Таким образом,
$F \Delta x = mv \Delta v + m \frac{ \Delta x}{L} gh$.
Разделим это уравнение на $\Delta t$ ( с учетом $\frac{ \Delta x}{ \Delta t} = v, \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = a$) и сократим на $v$, получим
$F = ma + \frac{h}{L} mg$,
откуда следует ответ задачи.
Однородную гибкую нерастяжимую веревку массы $M$ и длины $L$ втаскивают на гладкую горку высоты $h$, профиль которой показан на рисунке, под действием постоянной горизонтельно направленной силы $F$. Определите ускорение веревки.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на небольшой участок веревки длиной $\Delta l_{i}$ - сила тяжести $\Delta m_{i} \vec{g}$, и натяжения веревки с двух сторон от выделенного участка $\vec{T}_{1i}$ и $\vec{T}_{2i}$. Запишем уравнение второго закона Ньютона для выделенного кусочка в проекции на направление самого участка (на рисунке обозначена ось х):
$\Delta m_{i} a = T_{2i} - T_{1i} - \Delta m_{i} g \cos \alpha_{i}$,
Выразим массу кусочка уравнение $\Delta m_{i} = \frac{m}{L} \Delta l_{i}$ и подставим в полученное уравнение
$\frac{m}{L} \Delta_{i} a = T_{2i} - T_{1i} - \frac{mg}{L} \Delta l_{i} \cos \alpha_{i}$,
где $a$ - ускорение веревки.
Просуммируем уравнения, относящиеся ко всем участкам веревки. Учтем, что силы натяжения отдельных участков встречаются дважды, причем с различными знаками, поэтому их сумма для всех внутренних участков обратится в нуль, останется только сила натяжения одного из концов веревки (то есть $F$). Очевидно, что сумма длин $\Delta l_{i}$ равна длине веревки $L$; величина $\Delta l_{i} \cos \alpha_{i} = \Delta h_{i}$ есть разность высот концов выделенного участка, поэтому сумма этин величин равна h . Таким образом, после суммирования получим
$ma = F - \frac{h}{L} mg$.
Откуда находим ускорение
$a = \frac{F}{m} - \frac{h}{L}g$.
Данная задача может быть также легко решена с использованием энергетического подхода. Пусть за время $\Delta t$ веревка сместилась на расстояние $\Delta x$, тогда сила $F$ совершила работу $A = F \Delta x$, которая пошла на увеличение кинетической $\Delta E_{кин} = \Delta \left ( \frac{mv^{2}}{2} \right ) = mv \Delta v$ и потенциальной энергии $\Delta E_{пот} = m \frac{ \Delta x}{L} gh$ веревки.
Таким образом,
$F \Delta x = mv \Delta v + m \frac{ \Delta x}{L} gh$.
Разделим это уравнение на $\Delta t$ ( с учетом $\frac{ \Delta x}{ \Delta t} = v, \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = a$) и сократим на $v$, получим
$F = ma + \frac{h}{L} mg$,
откуда следует ответ задачи.
