Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2632
2017-04-02 
Сплошной однородный цилиндр радиуса $R$ и длины $L$ лежит на дне сосуда в форме параллелепипеда длины чуть большей $L$, ширины чуть большей $2R$. Сосуд заполнен жидкостью, так что она полностью покрывает цилиндр. Плотность материала цилиндра $\rho$, плотность жидкости $\rho_{0}$. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы вынуть цилиндр из жидкости?
Решение:
Минимальную работу в данном случае легко подсчитать как изменение потенциальной энергии системы. Объем воды в сосуде
$V = 4R^{2} L - \pi R^{2} L$;
после того как цилиндр достанут из воды вода заполнит дно сосуда слоем толщиной
$h = \frac{V}{2RL} = \left ( 2 - \frac{ \pi}{2} \right ) R$.
Следовательно, на такую же высоту необходимо поднять цилиндр. Изменение его потенциальной энергии при этом
$\Delta U_{1} = mgh = \pi R^{3} L \rho g \left ( 2 - \frac{ \pi}{2} \right )$.
Потенциальная энергия воды уменьшится на величину
$\Delta U_{2} = (4 - \pi) R^{2} L \rho_{0} g \left ( R - \frac{h}{2} \right ) = (4 - \pi) R^{3} L \rho_{0} g \left ( 1 + \frac{ \pi}{4} \right )$,
при записи этого соотношения учтено, что первоначально центр тяжести воды находился на высоте $R$, а затем оказался на высоте $\frac{h}{2}$. Таким образом, полное изменение энергии (следовательно, и необходимая работа) расчитываются по формуле
$A = \Delta U = \Delta U_{1} - \Delta U_{2} = \frac{4 - \pi}{2} R^{3} Lg \left ( \pi \rho - \left ( 2 + \frac{ \pi}{2} \right ) \right )$.
Сплошной однородный цилиндр радиуса $R$ и длины $L$ лежит на дне сосуда в форме параллелепипеда длины чуть большей $L$, ширины чуть большей $2R$. Сосуд заполнен жидкостью, так что она полностью покрывает цилиндр. Плотность материала цилиндра $\rho$, плотность жидкости $\rho_{0}$. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы вынуть цилиндр из жидкости?
Решение:
Минимальную работу в данном случае легко подсчитать как изменение потенциальной энергии системы. Объем воды в сосуде
$V = 4R^{2} L - \pi R^{2} L$;
после того как цилиндр достанут из воды вода заполнит дно сосуда слоем толщиной
$h = \frac{V}{2RL} = \left ( 2 - \frac{ \pi}{2} \right ) R$.
Следовательно, на такую же высоту необходимо поднять цилиндр. Изменение его потенциальной энергии при этом
$\Delta U_{1} = mgh = \pi R^{3} L \rho g \left ( 2 - \frac{ \pi}{2} \right )$.
Потенциальная энергия воды уменьшится на величину
$\Delta U_{2} = (4 - \pi) R^{2} L \rho_{0} g \left ( R - \frac{h}{2} \right ) = (4 - \pi) R^{3} L \rho_{0} g \left ( 1 + \frac{ \pi}{4} \right )$,
при записи этого соотношения учтено, что первоначально центр тяжести воды находился на высоте $R$, а затем оказался на высоте $\frac{h}{2}$. Таким образом, полное изменение энергии (следовательно, и необходимая работа) расчитываются по формуле
$A = \Delta U = \Delta U_{1} - \Delta U_{2} = \frac{4 - \pi}{2} R^{3} Lg \left ( \pi \rho - \left ( 2 + \frac{ \pi}{2} \right ) \right )$.
