Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2628
2017-03-31 
Железнодорожная платформа может двигаться по горизонтальным рельсам без трения.
1. Платформу начинают загружать песком, насыпающимся из неподвижного бункера с постоянной скоростью погрузки (под которой здесь понимается масса насыпаемого песка в единицу времени). Одновременно с началом погрузки на платформу начала действовать постоянная горизонтальная сила $F_{1} = 4,0 кН$. На графике 1 представлена зависимость скорости платформы от времени. Определите массу пустой платформы и скорость погрузки.
2. Груженую платформу подогнали к месту разгрузки. После остановки открыли люк в днище платформы, через который песок начал высыпаться с постоянной скоростью (по-прежнему имеется в виду масса высыпающегося песка в единицу времени) и приложили постоянную горизонтальную силу $F_{2} = 50 кН$. На графике 2 представлена зависимость скорости платформы от времени. Определите начальную массу песка и время, за которое он высыплется полностью.
3. Пустую платформу опять отправили на погрузку, забыв закрыть люк в днище. Начав загружать платформу так, как описано в п. 4.1 заметили, что через некоторое время платформа стала двигаться с постоянной скоростью. Найдите эту скорость.
Решение:
1. Поскольку масса платформы меняется, то второй закон Ньютона запишем в форме (изменение импульса системы равно импульсу внешней силы)
$F_{1}t = (m_{0} + \mu_{1}t)v$, (1)
где $m_{0}$ - начальная масса платформы, $\mu_{1}$ - скорость погрузки, $v$ - скорость платформы в момент времени $t$. Заметим, что уравнение второго закона Ньютона в форме
$F_{1} = ma$ (2)
в данном случае неприменимо, так как насыпающийся песок действует на платформу с некоторой тормозящей силой, которую здесь необходимо учесть.
В уравнении (1) две неизвестные величины $m_{0}$ и $\mu_{1}$ . Поэтому, в принципе, можно снять из графика зависимости $v(t)$ данные для двух различных моментов времени и решить полученную систему уравнений. Однако, определить по графику нужные значения можно только с определенной погрешностью. Для уменьшения последней предпочтительнее использовать больше исходной информации. Из уравнения (1) следует, что масса платформы как функция времени может быть представлена в виде
$m = m_{0} + \mu_{1} t = \frac{F_{1}t}{v}$. (3)
Используя приведенный в условии график, можно построить зависимость величины $F_{1}t/v$ от времени, которая должна быть линейной, а затем обрабатывая этот график легко найти требуемые параметры. Такая процедура приводит к результату $m_{0} \approx 1T, \mu_{1} \approx 0,1T/c$.
2. Движение платформы в случае разгрузки подчиняется уравнению
$F_{2} = (m_{0} - \mu_{2}t)a$. (4)
Высыпающийся песок имеет ту же горизонтальную составляющую скорости, что и платформа, поэтому непосредственно на платформу не действует. Поясним, что закон Ньютона в форме (1) в этой ситуации неприменим, так как часть импульса уносит высыпающийся песок. Из уравнения (4) следует
$m = (m_{0} - \mu_{2} t) = \frac{F_{2}}{a}$. (5)
Ускорение платформы $a$ можно определить по графику зависимости $v(t)$, как коэффициент наклона касательной. Однако, в данном случае график изогнут слабо, поэтому строить касательные затруднительно, да и точность таких построений не высока - можно ограничиться нахождением ускорений в двух произвольных точках. Например, в начале движения ускорение приблизительно равно $0,2 м/с^{2}$, а в конце достигает величины $0,4 м/с^{2}$. Учитывая эти данные находим $m_{0} \approx 25T, \mu_{1} \approx 0,12 T/c$.
3. Вычислим силу $F^{*}$, с которой насыпающийся песок действует на движущуюся платформу. За небольшой промежуток времени $\Delta t$ порция песка массой $\mu_{1} \Delta t$ увеличивает скорость от нуля до $v$. Следовательно, на этот песок действует сила, импульс которой $F \Delta t$ равен изменению импульса песка
$F^{*} = \mu_{1} v$
Отсюда находим
$F^{*} = \mu_{1}v$ (6)
С такой же силой насыпающийся песок действует на платформу. Если эта сила равна внешней приложенной силе $F_{1}$, то платформа будет двигаться с постоянной скоростью $v_{0}$, то есть
$\mu_{1}v_{0} = F_{1}$ (7)
или $v_{c} = \frac{F_{1}}{ \mu_{1}} = 20 м/с$.
Железнодорожная платформа может двигаться по горизонтальным рельсам без трения.
1. Платформу начинают загружать песком, насыпающимся из неподвижного бункера с постоянной скоростью погрузки (под которой здесь понимается масса насыпаемого песка в единицу времени). Одновременно с началом погрузки на платформу начала действовать постоянная горизонтальная сила $F_{1} = 4,0 кН$. На графике 1 представлена зависимость скорости платформы от времени. Определите массу пустой платформы и скорость погрузки.
2. Груженую платформу подогнали к месту разгрузки. После остановки открыли люк в днище платформы, через который песок начал высыпаться с постоянной скоростью (по-прежнему имеется в виду масса высыпающегося песка в единицу времени) и приложили постоянную горизонтальную силу $F_{2} = 50 кН$. На графике 2 представлена зависимость скорости платформы от времени. Определите начальную массу песка и время, за которое он высыплется полностью.
3. Пустую платформу опять отправили на погрузку, забыв закрыть люк в днище. Начав загружать платформу так, как описано в п. 4.1 заметили, что через некоторое время платформа стала двигаться с постоянной скоростью. Найдите эту скорость.
Решение:
1. Поскольку масса платформы меняется, то второй закон Ньютона запишем в форме (изменение импульса системы равно импульсу внешней силы)
$F_{1}t = (m_{0} + \mu_{1}t)v$, (1)
где $m_{0}$ - начальная масса платформы, $\mu_{1}$ - скорость погрузки, $v$ - скорость платформы в момент времени $t$. Заметим, что уравнение второго закона Ньютона в форме
$F_{1} = ma$ (2)
в данном случае неприменимо, так как насыпающийся песок действует на платформу с некоторой тормозящей силой, которую здесь необходимо учесть.
В уравнении (1) две неизвестные величины $m_{0}$ и $\mu_{1}$ . Поэтому, в принципе, можно снять из графика зависимости $v(t)$ данные для двух различных моментов времени и решить полученную систему уравнений. Однако, определить по графику нужные значения можно только с определенной погрешностью. Для уменьшения последней предпочтительнее использовать больше исходной информации. Из уравнения (1) следует, что масса платформы как функция времени может быть представлена в виде
$m = m_{0} + \mu_{1} t = \frac{F_{1}t}{v}$. (3)
Используя приведенный в условии график, можно построить зависимость величины $F_{1}t/v$ от времени, которая должна быть линейной, а затем обрабатывая этот график легко найти требуемые параметры. Такая процедура приводит к результату $m_{0} \approx 1T, \mu_{1} \approx 0,1T/c$.
2. Движение платформы в случае разгрузки подчиняется уравнению
$F_{2} = (m_{0} - \mu_{2}t)a$. (4)
Высыпающийся песок имеет ту же горизонтальную составляющую скорости, что и платформа, поэтому непосредственно на платформу не действует. Поясним, что закон Ньютона в форме (1) в этой ситуации неприменим, так как часть импульса уносит высыпающийся песок. Из уравнения (4) следует
$m = (m_{0} - \mu_{2} t) = \frac{F_{2}}{a}$. (5)
Ускорение платформы $a$ можно определить по графику зависимости $v(t)$, как коэффициент наклона касательной. Однако, в данном случае график изогнут слабо, поэтому строить касательные затруднительно, да и точность таких построений не высока - можно ограничиться нахождением ускорений в двух произвольных точках. Например, в начале движения ускорение приблизительно равно $0,2 м/с^{2}$, а в конце достигает величины $0,4 м/с^{2}$. Учитывая эти данные находим $m_{0} \approx 25T, \mu_{1} \approx 0,12 T/c$.
3. Вычислим силу $F^{*}$, с которой насыпающийся песок действует на движущуюся платформу. За небольшой промежуток времени $\Delta t$ порция песка массой $\mu_{1} \Delta t$ увеличивает скорость от нуля до $v$. Следовательно, на этот песок действует сила, импульс которой $F \Delta t$ равен изменению импульса песка
$F^{*} = \mu_{1} v$
Отсюда находим
$F^{*} = \mu_{1}v$ (6)
С такой же силой насыпающийся песок действует на платформу. Если эта сила равна внешней приложенной силе $F_{1}$, то платформа будет двигаться с постоянной скоростью $v_{0}$, то есть
$\mu_{1}v_{0} = F_{1}$ (7)
или $v_{c} = \frac{F_{1}}{ \mu_{1}} = 20 м/с$.
