Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2620
2017-03-31 
Два камешка брошены с высокой башни под углом $\alpha > 0$ к горизонту со скоростью $v_{0}$ с интервалом времени $\Delta t$ один за другим. Определите наименьшее расстояние между ними в течение полета и момент времени, когда это произойдет. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Выберем начало системы отсчета на башне, задачу будем решать в векторном виде. К моменту вылета второго камешка первый совершит перемещение
$\Delta \vec{r}_{0} = \vec{v}_{0} \Delta t + \frac{ \vec{g} \Delta t^{2}}{2}$
и будет двигаться со скоростью
$\vec{v} = \vec{v}_{0} + \vec{g} \Delta t$.
Перемещения камешков после бросания второго камешка запишутся следующим образом
$\Delta \vec{r}_{1} (t) = \vec{v}_{0} (t + \Delta t) + \frac{ \vec{g} (t+ \Delta t)^{2}}{2}$,
$\Delta \vec{r}_{2} (t) = \vec{v}_{0} t + \frac{ \vec{g} t^{2}}{2}$.
Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым камешком. Тогда относительное положение первого камешка задается вектором
$\vec{S} = \Delta \vec{r}_{1} (t) - \Delta \vec{r}_{2} (t) = \vec{v}_{0} \Delta t + \frac{ \vec{g} \Delta t^{2}}{2} + \vec{g} \Delta t \cdot t = \Delta \vec{r}_{0} + \vec{g} \Delta t \cdot t$,
т. е. это дв ижение вертикально вниз со скоростью $\vec{g} \Delta t$. Поэтому
1)если $\Delta t$ таково, что первый камушек не успел опуститься ниже горизонта точки бросания (точка $A_{1}$), тогда наименьшее расстояние будет равно
$CB_{1} = ( \Delta \vec{r}_{0} )_{x} = \left ( \vec{v}_{0} \Delta t + \frac{ \vec{g} \Delta t^{2}}{2} \right )_{x} = v_{0} \cos \alpha \Delta t$. (1)
Оно будет достигнуто в момент, когда оба шарика будут на одной высоте, т.е.
$S_{y} = 0 = ( \Delta \vec{r}_{0})_{y} - g \Delta t \cdot t = v_{0} \sin \alpha \Delta t - \frac{g \Delta t^{2}}{2} - g \Delta t \cdot t, t = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g} - \frac{ \Delta t}{2}$. (2)
2)если $\Delta t$ таково, что первый камушек опустился ниже горизонта бросания $(A_{2})$, наименьшим расстоянием будет начальное, т.е.
$OA_{2} = | \Delta \vec{r}_{0} | = \sqrt{ (v_{0} \cos \alpha \Delta t)^{2} + \left ( v_{0} \sin \alpha \Delta t - \frac{g \Delta t^{2}}{2} \right )^{2}}$, (3)
а момент времени $t = 0$. (4)
Условие выбора ответа следует из (2): если $\Delta t > \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$, то ответ (3),(4),
если $\Delta t < \frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g}$, то - (1),(2).
Два камешка брошены с высокой башни под углом $\alpha > 0$ к горизонту со скоростью $v_{0}$ с интервалом времени $\Delta t$ один за другим. Определите наименьшее расстояние между ними в течение полета и момент времени, когда это произойдет. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Выберем начало системы отсчета на башне, задачу будем решать в векторном виде. К моменту вылета второго камешка первый совершит перемещение
$\Delta \vec{r}_{0} = \vec{v}_{0} \Delta t + \frac{ \vec{g} \Delta t^{2}}{2}$
и будет двигаться со скоростью
$\vec{v} = \vec{v}_{0} + \vec{g} \Delta t$.
Перемещения камешков после бросания второго камешка запишутся следующим образом
$\Delta \vec{r}_{1} (t) = \vec{v}_{0} (t + \Delta t) + \frac{ \vec{g} (t+ \Delta t)^{2}}{2}$,
$\Delta \vec{r}_{2} (t) = \vec{v}_{0} t + \frac{ \vec{g} t^{2}}{2}$.
Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым камешком. Тогда относительное положение первого камешка задается вектором
$\vec{S} = \Delta \vec{r}_{1} (t) - \Delta \vec{r}_{2} (t) = \vec{v}_{0} \Delta t + \frac{ \vec{g} \Delta t^{2}}{2} + \vec{g} \Delta t \cdot t = \Delta \vec{r}_{0} + \vec{g} \Delta t \cdot t$,
т. е. это дв ижение вертикально вниз со скоростью $\vec{g} \Delta t$. Поэтому
1)если $\Delta t$ таково, что первый камушек не успел опуститься ниже горизонта точки бросания (точка $A_{1}$), тогда наименьшее расстояние будет равно
$CB_{1} = ( \Delta \vec{r}_{0} )_{x} = \left ( \vec{v}_{0} \Delta t + \frac{ \vec{g} \Delta t^{2}}{2} \right )_{x} = v_{0} \cos \alpha \Delta t$. (1)
Оно будет достигнуто в момент, когда оба шарика будут на одной высоте, т.е.
$S_{y} = 0 = ( \Delta \vec{r}_{0})_{y} - g \Delta t \cdot t = v_{0} \sin \alpha \Delta t - \frac{g \Delta t^{2}}{2} - g \Delta t \cdot t, t = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g} - \frac{ \Delta t}{2}$. (2)
2)если $\Delta t$ таково, что первый камушек опустился ниже горизонта бросания $(A_{2})$, наименьшим расстоянием будет начальное, т.е.
$OA_{2} = | \Delta \vec{r}_{0} | = \sqrt{ (v_{0} \cos \alpha \Delta t)^{2} + \left ( v_{0} \sin \alpha \Delta t - \frac{g \Delta t^{2}}{2} \right )^{2}}$, (3)
а момент времени $t = 0$. (4)
Условие выбора ответа следует из (2): если $\Delta t > \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$, то ответ (3),(4),
если $\Delta t < \frac{2 v_{0} \sin \alpha}{g}$, то - (1),(2).
