ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-05-31   
При одновременном подключении двух вольтметров последовательно к источнику тока показание первого $U_{1}=б В$, второго $U_{2} = 8 В$. При параллельном подключении тех же вольтметром их показания $U_{3} = 12 В$. Определите ЭДС источника.


Решение:


В общем случае закон Ома
$\cal{E}=I(R+r)=IR+Ir$,
где $IR=U$ - полное падение напряжения во внешней цепи (на вольтметрах), $R$ - сопротивление внешней цепи, $r$ - внутреннее сопротивление.

Обозначим сопротивления вольтметров $R_{1}$ и $R_{2}$. Запишем закон Ома для случаев последовательного и параллельного подключения вольтметров, используя величины со штрихом для первого случая и величины с двумя штрихами - для второго.
В случае последовательного подключения вольтметров падение напряжения во внешней цепи равно
$U^{\prime}=U_{1}+U_{2}$.
следовательно,
$\cal{E}=U_{1}+U_{2}+I^{\prime}r$.
А так как
$I^{\prime}=\frac{U_{1}}{R_{1}}=\frac{U_{2}}{R_{2}}$. (1)
получаем равенство
$\cal{E}=U_{2}+U_{1} \left ( 1+ \frac{r}{R_{1}} \right )$. (2)
В случае параллельного подключения вольтметров имеем
$U^{\prime \prime}=U_{3}$,
следовательно
$\cal{E} = U_{3} + I^{\prime \prime} r$,
или
$\cal{E}=U_{3} \left ( 1+ \frac{r}{R^{\prime \prime}} \right )$, (3)
где введено обозначение $ R^{\prime \prime}$ - сопротивление параллельно включенных вольтметров:
$ R^{\prime \prime} = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$. (4)
Перепишем равенство (3) с учетом соотношения (4):
$\cal{E}=U_{3} \left ( 1+ \frac{r}{R_{1}R_{2}}(R_{1}+R_{2}) \right )$. (5)
Приравняем правые части равенств (2) и (5):
$U_{2}+U_{1} \left ( 1+ \frac{r}{R_{1}} \right ) = U_{3} \left ( 1+ \frac{r}{R_{1}R_{2}}(R_{1}+R_{2}) \right ) $,
откуда с учетом (1) следует
$\frac{r}{R_{1}}=\frac{U_{2}(U_{2}+U_{1}-U_{3})}{U_{1}U_{3}+U_{2}U_{3}-U_{1}U_{2}}$. (6)
Подставляя (6) в (2), получаем
$\cal{E}=U_{2}+U_{2} \left ( 1+ \frac{U^{2}_{2}+U_{2}U_{1}-U_{2}U_{3}}{ U_{1}U_{3}+U_{2}U_{3}-U_{1}U_{2}} \right )$,
или
$\cal{E} = \frac{U_{3}((U_{2}+U_{1})^{2}-U_{1}U_{2})}{U_{3}(U_{1}+U_{2})-U_{1}U_{2}}=14,8 В$.