2017-03-31
Небольшая бусинка начинает скользить по спирали радиусом $R$, ось которой вертикальна. Определите величину скорости установившегося движения бусинки, если коэффициент ее трения о спираль равен $\mu$. Шаг спирали $h$.
Решение:
Мы имеем типичный пример системы, самостоятельно приходящей в состояние динамического равновесия. Вначале бусинка разгоняется, растет скорость, а вместе с ней и сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно касательной! к участку спирали, следовательно, возрастает и сила трения $\vec{F}$, направленная вдоль касательной к траектории в сторону противоположную скорости, причем модуль этой силы определяется известным законом $F = \mu N$ . Через определенное время бусинка будет двигаться с установившейся скоростью . Опустившись на один виток, бусинка расходует запас потенциальной энергии на работу против сил трения (кинетическая энергия при этом больше не меняется)
$mgH = FS = \mu N \sqrt{4 \pi^{2} R^{2} + H^{2}}$, (1)
где $S = \sqrt{4 \pi^{2} R^{2} + H^{2}}$ - длина одного витка спирали.
Разложим силу реакции $\vec{N}$ на две составляющие :
$N_{1} = mg \cos \alpha$ - в вертикальной плоскости П, касательной к участку спирали, и
$N_{2} = \frac{m(v \cos \alpha)^{2}}{R}$
- в горизонтальной плоскости. Выражения для этих компонент получены из следующих рассуждений: в вертикальном направлении движение бусинки является равномерным со скоростью $v \sin \alpha$, следовательно в проекции на любую ось, лежащую в вертикальной плоскости, касательной к траектории сумма всех проекций сил, действующих на бусинку, равна нулю; в горизонтальной плоскости движение бусинки является равномерным движением по окружности радиуса $R$ со скоростью $v \cos \alpha$, следовательно, бусинка движется с центростремительным ускорением, которое ей сообщает компонента силы реакции $N_{2}$. Таким образом, модуль силы реакции определяется выражением
$N = \sqrt{ N_{1}^{2} + N_{2}^{2}} = \sqrt{ m^{2}g^{2} \cos^{2} \alpha + \frac{m^{2}v^{4} \cos^{4} \alpha}{R^{2}}}$. (2)
В этих выражениях $\alpha$ - угол между касательной к траектории и спиралью. Из простых геометрических построений находим
$tg \alpha = \frac{H}{2 \pi R}, \cos \alpha = \frac{1}{1 + tg^{2} \alpha} = \frac{4 \pi R^{2}}{4 \pi^{2} R^{2} + H^{2}}$. (3)
Подставляя полученные выражения в (1), получаем уравнение относительно скорости $v$
$\frac{g^{2}H^{2}}{ \mu^{2}} = 4 \pi^{2} R^{2} g^{2} + \frac{16 v^{4} \pi^{4} R^{2}}{4 \pi^{2} R^{2} + H^{2}}$.
Разрешая уравнение, находим искомую скорость установившегося движения бусинки
$v = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{g}{R}} \sqrt[4]{ \left ( 4 \pi^{2} R^{2} + H^{2} \right ) \left ( \frac{H^{2}}{ \mu^{2}} - 4 \pi^{2} R^{2} \right ) }$.