ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-03-31   
Однослойная катушка радиусом $R$ намотана медным проводом диаметром $d$ вплотную. При какой силе тока через катушку обмотка разорвется? Предел прочности меди на разрыв $\sigma$.


Решение:



Индукция магнитного поля внутри катушки

$B = \mu_{0} nI = \frac{ \mu_{0}I}{d}$. (1)

Чтобы исключить "самовоздействие", при вычислении силы, действующей на участок проволоки, необходимо уменьшить величину индукции в два раза

$B^{ \prime} = \frac{1}{2} \frac{ \mu_{0}I}{d}$. (2)

Мысленно выделим кусочек витка проволоки, видимый из центра под малым углом $\alpha$. Сила Ампера, действующая на его

$F_{A} = IB^{ \prime} \Delta l = \frac{1}{2} \frac{ \mu_{0} I^{2}}{d} R \alpha$, (3)

уравновешивается силами упругости

$T = \sigma \frac{ \pi d^{2}}{4}$,

($\sigma$ — механическое напряжение внутри провода) направленными под небольшими углами $\frac{ \alpha }{2}$ к направлению силы Ампера

$\frac{1}{2} \frac{ \mu_{0} I^{2}}{d} R \alpha = 2 \sigma \frac{ \pi d^{2}}{4} \frac{ \alpha }{2}$. (4)

Полагая $\sigma$ равным предельному механическому напряжению, из (4) находим

$I = \sqrt{ \frac{ \sigma \pi d^{3}}{2 \mu_{0} R} }$.