Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2614
2017-03-31 
Длинная невесомая нерастяжимая нить переброшена через два маленьких невесомых блока, оси которых жестко закреплены. К концам нити привязаны одинаковые грузы. К середине нити прикрепили еще один такой же груз и без толчка отпустили. Определите ускорение этого груза в тот момент, когда нить в точке подвеса изогнулась под прямым углом. Сопротивлением воздуха и трением пренебречь.
Решение:
Обозначим расстояние между блоками $2l$. Запишем уравнения второго закона Ньютона для двух грузов
$T - mg = ma_{0}$,
$mg - T \sqrt{2} = ma_{1}$. (1)
(Чтобы не усложнять формулы мы сразу учитываем, что нить изогнута под прямым углом).
Установим связь между величинами ускорений грузов $a_{0}$ и $a_{1}$. Представим движение центрального груза как суперпозицию двух движений: вращения вокруг точки О со скоростью $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ направленной перпендикулярно нити; увеличение радиуса вращения со скоростью $\vec{v}_{1}^{ \prime \prime}$, направленной вдоль нити.
Очевидно, что $| \vec{v}_{1}^{ \prime \prime}| = v_{0}$ — скорости бокового груза. Так как, сумма скоростей $\vec{v}_{1}^{ \prime \prime}$ и $\vec{v}_{1}^{ \prime }$ направлена вертикально вниз (это скорость груза $\vec{v}_{1}$), то $| \vec{v}_{1}^{ \prime \prime}| = | \vec{v}_{1}^{ \prime }| = v_{0}$ и
$v_{1} = v_{0} \sqrt{2}$. (2)
Согласно разложению движения на составляющие, разложим и ускорение центрального груза. Вращательному движению соответствует центростремительное ускорение $\vec{a}_{1c}$, направленное вдоль нити (равное $\frac{v_{0}^{2}}{l \sqrt{2}}$), и тангенциальное $\vec{a}_{1 \tau}$, направленное перпендикулярно нити. Увеличению длины нити соответствует ускорение $\vec{a}_{1}^{ \prime \prime}$, направленное вдоль нити и равное по модулю $a_{0}$ - ускорению бокового груза. Следовательно, модуль полного ускорения
$a_{1} = \left ( a_{0} - \frac{v_{0}^{2}}{l \sqrt{2}} \right ) \sqrt{2}$. (3)
Заметим, что эти же соотношения между скоростями и ускорениями грузов можно получить с помощью операции дифференцирования. Запишем закон сохранения энергии для того, чтобы выразить скорость центрального груза
$2 \frac{mv_{0}^{2}}{2} + \frac{mv_{1}^{2}}{2} = mgl - 2 mgl ( \sqrt{2} - 1)$. (4)
Решая совместно (2)-(4) можно найти $a_{1} = - \frac{g}{4}$, то есть ускорение направленно вверх.
Длинная невесомая нерастяжимая нить переброшена через два маленьких невесомых блока, оси которых жестко закреплены. К концам нити привязаны одинаковые грузы. К середине нити прикрепили еще один такой же груз и без толчка отпустили. Определите ускорение этого груза в тот момент, когда нить в точке подвеса изогнулась под прямым углом. Сопротивлением воздуха и трением пренебречь.
Решение:
Обозначим расстояние между блоками $2l$. Запишем уравнения второго закона Ньютона для двух грузов
$T - mg = ma_{0}$,
$mg - T \sqrt{2} = ma_{1}$. (1)
(Чтобы не усложнять формулы мы сразу учитываем, что нить изогнута под прямым углом).
Установим связь между величинами ускорений грузов $a_{0}$ и $a_{1}$. Представим движение центрального груза как суперпозицию двух движений: вращения вокруг точки О со скоростью $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ направленной перпендикулярно нити; увеличение радиуса вращения со скоростью $\vec{v}_{1}^{ \prime \prime}$, направленной вдоль нити.
Очевидно, что $| \vec{v}_{1}^{ \prime \prime}| = v_{0}$ — скорости бокового груза. Так как, сумма скоростей $\vec{v}_{1}^{ \prime \prime}$ и $\vec{v}_{1}^{ \prime }$ направлена вертикально вниз (это скорость груза $\vec{v}_{1}$), то $| \vec{v}_{1}^{ \prime \prime}| = | \vec{v}_{1}^{ \prime }| = v_{0}$ и
$v_{1} = v_{0} \sqrt{2}$. (2)
Согласно разложению движения на составляющие, разложим и ускорение центрального груза. Вращательному движению соответствует центростремительное ускорение $\vec{a}_{1c}$, направленное вдоль нити (равное $\frac{v_{0}^{2}}{l \sqrt{2}}$), и тангенциальное $\vec{a}_{1 \tau}$, направленное перпендикулярно нити. Увеличению длины нити соответствует ускорение $\vec{a}_{1}^{ \prime \prime}$, направленное вдоль нити и равное по модулю $a_{0}$ - ускорению бокового груза. Следовательно, модуль полного ускорения
$a_{1} = \left ( a_{0} - \frac{v_{0}^{2}}{l \sqrt{2}} \right ) \sqrt{2}$. (3)
Заметим, что эти же соотношения между скоростями и ускорениями грузов можно получить с помощью операции дифференцирования. Запишем закон сохранения энергии для того, чтобы выразить скорость центрального груза
$2 \frac{mv_{0}^{2}}{2} + \frac{mv_{1}^{2}}{2} = mgl - 2 mgl ( \sqrt{2} - 1)$. (4)
Решая совместно (2)-(4) можно найти $a_{1} = - \frac{g}{4}$, то есть ускорение направленно вверх.
