Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2613
2017-03-31 
Массивный диск подвешен на вертикальных нитях горизонтально. Если диск повернуть вокруг его оси и отпустить, то он начнет совершать крутильные колебания. Как изменится период этих малых колебаний, если в центре диска положить небольшой по размерам груз, масса которого равна массе диска?
Решение:
При повороте диска на малый угол $\alpha$ вокруг собственной оси он приподнимается на высоту
$h \approx l - \sqrt{l^{2} - (R \alpha)^{2}} \approx \frac{R^{2} \alpha^{2}}{2l}$.
Потенциальная энергия при этом увеличивается на
$\Delta E_{n} = mg \frac{R^{2} \alpha^{2}}{2l}$.
При вращении диска с угловой скоростью $\omega$, его кинетическая энергия равна
$E_{k} = \frac{J \omega^{2}}{2}$,
где $J$ — постоянный коэффициент (момент инерции), зависящий от распределения масс. Закон сохранения энергии при вращательных колебаниях записывается в виде
$ \frac{J \omega^{2}}{2} + mg \frac{R^{2} \alpha^{2}}{2l} = const$. (1)
Проводя аналогию с колебаниями груза на пружине
$\frac{mv^{2}}{2} + \frac{kx^{2}}{2} = const$, (2)
можно выразить период колебаний диска
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{Jl}{mgR^{2}}}$. (3)
Если на диск положить груз, как сказано в условии задачи, то выражение для кинетической энергии (момент инерции $J$ )не измениться, так как скорость груза, находящегося на оси вращения, равна нулю. Масса же системы увеличиться в два раза, следовательно, согласно (3), период колебаний уменьшится в $\sqrt{2}$ раз.
Массивный диск подвешен на вертикальных нитях горизонтально. Если диск повернуть вокруг его оси и отпустить, то он начнет совершать крутильные колебания. Как изменится период этих малых колебаний, если в центре диска положить небольшой по размерам груз, масса которого равна массе диска?
Решение:
При повороте диска на малый угол $\alpha$ вокруг собственной оси он приподнимается на высоту
$h \approx l - \sqrt{l^{2} - (R \alpha)^{2}} \approx \frac{R^{2} \alpha^{2}}{2l}$.
Потенциальная энергия при этом увеличивается на
$\Delta E_{n} = mg \frac{R^{2} \alpha^{2}}{2l}$.
При вращении диска с угловой скоростью $\omega$, его кинетическая энергия равна
$E_{k} = \frac{J \omega^{2}}{2}$,
где $J$ — постоянный коэффициент (момент инерции), зависящий от распределения масс. Закон сохранения энергии при вращательных колебаниях записывается в виде
$ \frac{J \omega^{2}}{2} + mg \frac{R^{2} \alpha^{2}}{2l} = const$. (1)
Проводя аналогию с колебаниями груза на пружине
$\frac{mv^{2}}{2} + \frac{kx^{2}}{2} = const$, (2)
можно выразить период колебаний диска
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{Jl}{mgR^{2}}}$. (3)
Если на диск положить груз, как сказано в условии задачи, то выражение для кинетической энергии (момент инерции $J$ )не измениться, так как скорость груза, находящегося на оси вращения, равна нулю. Масса же системы увеличиться в два раза, следовательно, согласно (3), период колебаний уменьшится в $\sqrt{2}$ раз.
