Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 261
2014-05-31 
Имеется конденсатор емкостью $C$ и десять аккумуляторов с ЭДC $\cal{E}= 1 В$ каждый. Как следует заряжать конденсатор до напряжения $U = 10 В$, чтобы работа источников была минимальной? Какое КПД в оптимальном режиме зарядки? Индуктивностью, емкостью и активным сопротивлением соединительных проводов по сравнению с внутренним сопротивлением аккумуляторов можно пренебречь.
Решение:
Рассмотрим сначала вспомогательную задачу. Пусть имеется один источник с ЭДС $\cal{E}$ и конденсатор с емкостью $C$. Определим, какую работу совершает источник в процессе зарядки конденсатора и какая доля этой работы переходит в энергию поля в конденсаторе, т. е. каков в данном случае КПД источника.
После подключения к источнику конденсатор заряжается до разности потенциалов $V = \cal{E}$ и на его пластинах накапливается заряд:
$Q = C \cal{E}$.
При этом в электрическом поле заряженного конденсатора запасается энергия
$W_{E} = C \cal{E^{2}}/2$.
При зарядке конденсатора источник тока совершает работу
$A=Q \cal{E} = C \cal{E^{2}} = 2W_{E}$.
Таким образом, КПД источника в данном случае
$\eta = W_{E}/A = 0,5$.
Мы видим, что лишь половина совершенной источником работы идет на создание поля в конденсаторе; вторая половина затрачивается на нагревание проводов и самого источника тока.
Вернемся к основной задаче.
При зарядке конденсатора до разности потенциалов $U = 10 \cal{E}$ на его пластинах накапливается заряд
$Q = CU= 10 C \cal{E}$
и в его электрическом поле накапливается энергия
$W_{E}=CU^{2}/2=50C \cal{E^{2}}$. (1)
Величины $Q$ и $W_{E}$ имеют фиксированные значения, не зависящие от способа зарядки. Поэтому увеличение КПД при сообщении конденсатору заданного заряда и заданной энергии можно достичь только путем уменьшения работы, совершаемой используемыми для этого источниками. Путь достижения указанной цели очевиден: надо постараться не весь заряд $Q$ пропускать через все источники. Так, первую порцию заряда величиной $0,1Q$ можно сообщить конденсатору, пропустив ее только через один источник тока, который при этом совершает работу
$A_{1}=0,1Q \cal{E} = C \cal{E^{2}}$.
Вторую порцию заряда той же величины можно сообщить конденсатору, пропустив ее только через два последовательно включенных источника тока, которые при этом совершают работу
$A_{2}=(0,1Q)(2 \cal{E}) = 0,2 Q \cal{E}=2C \cal{E^{2}}$,
и т. д.
При предлагаемом способе зарядки источники совершают работу
$A = C \cal{E^{2}} \sum^{10}_{k=1} k = 55 C \cal{E^{2}}$. (2)
Разделив (1) на (2), получаем следующее значение КПД:
$\eta 50/55 \approx 0,91$.
Таким образом, предложенная нами схема существенно повышает КПД использования источников тока при зарядке конденсаторов.
Имеется конденсатор емкостью $C$ и десять аккумуляторов с ЭДC $\cal{E}= 1 В$ каждый. Как следует заряжать конденсатор до напряжения $U = 10 В$, чтобы работа источников была минимальной? Какое КПД в оптимальном режиме зарядки? Индуктивностью, емкостью и активным сопротивлением соединительных проводов по сравнению с внутренним сопротивлением аккумуляторов можно пренебречь.
Решение:
Рассмотрим сначала вспомогательную задачу. Пусть имеется один источник с ЭДС $\cal{E}$ и конденсатор с емкостью $C$. Определим, какую работу совершает источник в процессе зарядки конденсатора и какая доля этой работы переходит в энергию поля в конденсаторе, т. е. каков в данном случае КПД источника.
После подключения к источнику конденсатор заряжается до разности потенциалов $V = \cal{E}$ и на его пластинах накапливается заряд:
$Q = C \cal{E}$.
При этом в электрическом поле заряженного конденсатора запасается энергия
$W_{E} = C \cal{E^{2}}/2$.
При зарядке конденсатора источник тока совершает работу
$A=Q \cal{E} = C \cal{E^{2}} = 2W_{E}$.
Таким образом, КПД источника в данном случае
$\eta = W_{E}/A = 0,5$.
Мы видим, что лишь половина совершенной источником работы идет на создание поля в конденсаторе; вторая половина затрачивается на нагревание проводов и самого источника тока.
Вернемся к основной задаче.
При зарядке конденсатора до разности потенциалов $U = 10 \cal{E}$ на его пластинах накапливается заряд
$Q = CU= 10 C \cal{E}$
и в его электрическом поле накапливается энергия
$W_{E}=CU^{2}/2=50C \cal{E^{2}}$. (1)
Величины $Q$ и $W_{E}$ имеют фиксированные значения, не зависящие от способа зарядки. Поэтому увеличение КПД при сообщении конденсатору заданного заряда и заданной энергии можно достичь только путем уменьшения работы, совершаемой используемыми для этого источниками. Путь достижения указанной цели очевиден: надо постараться не весь заряд $Q$ пропускать через все источники. Так, первую порцию заряда величиной $0,1Q$ можно сообщить конденсатору, пропустив ее только через один источник тока, который при этом совершает работу
$A_{1}=0,1Q \cal{E} = C \cal{E^{2}}$.
Вторую порцию заряда той же величины можно сообщить конденсатору, пропустив ее только через два последовательно включенных источника тока, которые при этом совершают работу
$A_{2}=(0,1Q)(2 \cal{E}) = 0,2 Q \cal{E}=2C \cal{E^{2}}$,
и т. д.
При предлагаемом способе зарядки источники совершают работу
$A = C \cal{E^{2}} \sum^{10}_{k=1} k = 55 C \cal{E^{2}}$. (2)
Разделив (1) на (2), получаем следующее значение КПД:
$\eta 50/55 \approx 0,91$.
Таким образом, предложенная нами схема существенно повышает КПД использования источников тока при зарядке конденсаторов.
