Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2600
2017-03-30 
На двух горизонтальных параллельных проводящих рельсах свободно лежат две одинаковых проводящих перемычки параллельно друг другу и перпендикулярно рельсам. В некоторый момент времени достаточно быстро "включили" однородное вертикальное магнитное поле. Считая, что сопротивление рельсов значительно меньше сопротивления перемычек и пренебрегая трением, найдите, во сколько раз изменилось расстояние между перемычками.
Решение:
Найдем скорость, которую приобретет каждая перемычка в ходе быстрого включения поля.
При изменении магнитного поля возникает эдс индукции
$E_{инд} = al_{0} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$,
где $a$ - расстояние между рельсами, $l_{0}$ - начальное расстояние между перемычками. (Так как поле изменяется быстро, что смещением перемычек за время «включения» пренебрегаем.) В контуре возникнет электрический ток силой
$I = \frac{E_{ind}}{R} = \frac{al_{0}}{R} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$,
($R$ - общее сопротивление перемычек). Сила, действующая на перемычку (внутрь)
$F = IBa = \frac{a^{2}l_{0}}{R} B \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
Импульс, приобретенный перемычкой
$mv = \sum F \Delta t = \frac{a^{2}l_{0}}{R} \sum B \Delta B = \frac{a^{2}l_{0}}{R} \frac{B_{0}^{2}}{2}$,
где $B_{0}$ - индукция включенного поля.
Отсюда скорость, которую преобретут перемычки равна $v_{0} = \frac{a^{2}l_{0}}{2RM} B_{0}^{2}$.
Дальше перемычки движутся в постоянном поле $B_{0}$. При этом в контуре также возникает эдс индукции
$E_{инд} = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = B_{0} a \frac{ \Delta l}{ \Delta t} = 2B_{0} a v$,
$v$ - текущее значение скорости. (коэффициент 2 появился из-за того, что движутся две перемычки.)
Тормозящая сила , действующая на одну из перемычек равна
$F = IBa = \frac{E_{ind}}{R} B_{0} a = 2 \frac{B_{0}^{2}a^{2}}{R} v$.
Запишем уравнение второго закона Ньютона:
$m \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = - 2 \frac{ B_{0}^{2} a^{2}}{ R} v$,
учитывая, что $v = \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$, получим
$m \frac{ \Delta v}{ \Delta x} = - 2 \frac{B_{0}^{2}a^{2}}{R}$,
т. е. до остановки каждая перемычка пройдет расстояние
$x_{1} = \frac{mv_{0}R}{2B_{0}^{2}a^{2}} = \frac{Mr}{2B_{0}^{2}a^{2}} \frac{B_{0}^{2} a^{2}l_{0}}{2Rm} = \frac{l_{0}}{4}$.
Окончательно, расстояние между перемычками уменьшится на $2x_{1} = \frac{l_{0}}{2}$, т.е. уменьшится в два раза. Интересно отметить, что результат не зависит от параметров задачи.
На двух горизонтальных параллельных проводящих рельсах свободно лежат две одинаковых проводящих перемычки параллельно друг другу и перпендикулярно рельсам. В некоторый момент времени достаточно быстро "включили" однородное вертикальное магнитное поле. Считая, что сопротивление рельсов значительно меньше сопротивления перемычек и пренебрегая трением, найдите, во сколько раз изменилось расстояние между перемычками.
Решение:
Найдем скорость, которую приобретет каждая перемычка в ходе быстрого включения поля.
При изменении магнитного поля возникает эдс индукции
$E_{инд} = al_{0} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$,
где $a$ - расстояние между рельсами, $l_{0}$ - начальное расстояние между перемычками. (Так как поле изменяется быстро, что смещением перемычек за время «включения» пренебрегаем.) В контуре возникнет электрический ток силой
$I = \frac{E_{ind}}{R} = \frac{al_{0}}{R} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$,
($R$ - общее сопротивление перемычек). Сила, действующая на перемычку (внутрь)
$F = IBa = \frac{a^{2}l_{0}}{R} B \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
Импульс, приобретенный перемычкой
$mv = \sum F \Delta t = \frac{a^{2}l_{0}}{R} \sum B \Delta B = \frac{a^{2}l_{0}}{R} \frac{B_{0}^{2}}{2}$,
где $B_{0}$ - индукция включенного поля.
Отсюда скорость, которую преобретут перемычки равна $v_{0} = \frac{a^{2}l_{0}}{2RM} B_{0}^{2}$.
Дальше перемычки движутся в постоянном поле $B_{0}$. При этом в контуре также возникает эдс индукции
$E_{инд} = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = B_{0} a \frac{ \Delta l}{ \Delta t} = 2B_{0} a v$,
$v$ - текущее значение скорости. (коэффициент 2 появился из-за того, что движутся две перемычки.)
Тормозящая сила , действующая на одну из перемычек равна
$F = IBa = \frac{E_{ind}}{R} B_{0} a = 2 \frac{B_{0}^{2}a^{2}}{R} v$.
Запишем уравнение второго закона Ньютона:
$m \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = - 2 \frac{ B_{0}^{2} a^{2}}{ R} v$,
учитывая, что $v = \frac{ \Delta x}{ \Delta t}$, получим
$m \frac{ \Delta v}{ \Delta x} = - 2 \frac{B_{0}^{2}a^{2}}{R}$,
т. е. до остановки каждая перемычка пройдет расстояние
$x_{1} = \frac{mv_{0}R}{2B_{0}^{2}a^{2}} = \frac{Mr}{2B_{0}^{2}a^{2}} \frac{B_{0}^{2} a^{2}l_{0}}{2Rm} = \frac{l_{0}}{4}$.
Окончательно, расстояние между перемычками уменьшится на $2x_{1} = \frac{l_{0}}{2}$, т.е. уменьшится в два раза. Интересно отметить, что результат не зависит от параметров задачи.
