Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2599
2017-03-30 
Внутри открытой горизонтальной цилиндрической трубки находятся два легкоподвижных плотно пригнанных металлических поршня, между которыми находится идеальный газ. Поршни подключены к регулируемому источнику постоянного напряжения. Напряжение источника равно $U_{0}$, поршни находятся в равновесии на расстоянии $d_{0}$ друг от друга. Как изменится расстояние между поршнями, если медленно увеличить напряжение источника в два раза? Атмосферным давлением пренебречь, температуру газа считать постоянной, его диэлектрическая проницаемость $\epsilon = 1$.
Решение:
На поршни действуют:
а) сила давления газа, которое можно вычислить по заказу Бойля-Мариотта
$P = \frac{P_{0}V_{0}}{V} = P_{0} \frac{d_{0}}{d}$, (1)
«направленная наружу».
б) сила электрического «давления» (с учетом $E = \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0}}$)
$P_{эл} = \sigma E^{ \prime} = \frac{ \sigma E}{2} = \frac{ \epsilon_{0} E^{2}}{2} = \frac{ \epsilon_{0} U^{2}}{2d^{2}}$, (2)
направленная «внутрь».
В положении равновесия $P = P_{эл}$ или $P_{0} \frac{d_{0}}{d} = \frac{ \epsilon_{0} U^{2}}{2d^{2}}$, откуда следует
$\frac{U^{2}}{d} = const = \frac{U_{0}^{2}}{d_{0}}$,
т. е.
$d = d_{0} \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}$.
Из соотношения следует, что при увеличении напряжения в два раза, расстояние между поршнями должно увеличиться (?!) в четыре раза, что явно противоречит здравому смыслу.
Разрешение парадокса заключается в том, что в данной системе положение равновесия не является устойчивым. На рисунке изображены зависимости давления газа (кривая 1, формула (1)) и давления электрического поля (кривая 2, формула(2)) от расстояния $d$ между поршнями. Точка их пересечения соответствует положению равновесия $d_{0}$. При случайном отклонении поршней от этого положения возникает сила, еще дальше уводящая их от этого положения. Если расстояние случайно стало меньше $d_{0}$, то сила электрического притяжения начинает превышать силу давления газа. При увеличении напряжения положение равновесия смещается в сторону больших значений $d$ (на рисунке кривая 3 соответствует большему напряжению, точка $d^{ \prime}$ - новое положение равновесия - и тоже неустойчивое), однако, поршни не стремятся к этому новому положению равновесия, а, наоборот уходят от него.
Таким образом, ответ задачи: поршни «схлопнутся», т.е. $d = 0$!
Внутри открытой горизонтальной цилиндрической трубки находятся два легкоподвижных плотно пригнанных металлических поршня, между которыми находится идеальный газ. Поршни подключены к регулируемому источнику постоянного напряжения. Напряжение источника равно $U_{0}$, поршни находятся в равновесии на расстоянии $d_{0}$ друг от друга. Как изменится расстояние между поршнями, если медленно увеличить напряжение источника в два раза? Атмосферным давлением пренебречь, температуру газа считать постоянной, его диэлектрическая проницаемость $\epsilon = 1$.
Решение:
На поршни действуют:
а) сила давления газа, которое можно вычислить по заказу Бойля-Мариотта
$P = \frac{P_{0}V_{0}}{V} = P_{0} \frac{d_{0}}{d}$, (1)
«направленная наружу».
б) сила электрического «давления» (с учетом $E = \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0}}$)
$P_{эл} = \sigma E^{ \prime} = \frac{ \sigma E}{2} = \frac{ \epsilon_{0} E^{2}}{2} = \frac{ \epsilon_{0} U^{2}}{2d^{2}}$, (2)
направленная «внутрь».
В положении равновесия $P = P_{эл}$ или $P_{0} \frac{d_{0}}{d} = \frac{ \epsilon_{0} U^{2}}{2d^{2}}$, откуда следует
$\frac{U^{2}}{d} = const = \frac{U_{0}^{2}}{d_{0}}$,
т. е.
$d = d_{0} \frac{U^{2}}{U_{0}^{2}}$.
Из соотношения следует, что при увеличении напряжения в два раза, расстояние между поршнями должно увеличиться (?!) в четыре раза, что явно противоречит здравому смыслу.
Разрешение парадокса заключается в том, что в данной системе положение равновесия не является устойчивым. На рисунке изображены зависимости давления газа (кривая 1, формула (1)) и давления электрического поля (кривая 2, формула(2)) от расстояния $d$ между поршнями. Точка их пересечения соответствует положению равновесия $d_{0}$. При случайном отклонении поршней от этого положения возникает сила, еще дальше уводящая их от этого положения. Если расстояние случайно стало меньше $d_{0}$, то сила электрического притяжения начинает превышать силу давления газа. При увеличении напряжения положение равновесия смещается в сторону больших значений $d$ (на рисунке кривая 3 соответствует большему напряжению, точка $d^{ \prime}$ - новое положение равновесия - и тоже неустойчивое), однако, поршни не стремятся к этому новому положению равновесия, а, наоборот уходят от него.
Таким образом, ответ задачи: поршни «схлопнутся», т.е. $d = 0$!
