Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2591
2017-03-30 
Брусок массой $m_{0} = 1,0 кг$, изготовленный из материала, удельная теплоемкость которого зависит от температуры $t$ по закону $c(t) = c_{0}(1 + \alpha t)$, где $c_{0} = 1,3 \cdot 10^{3} Дж /(кг \cdot К), \alpha = 0,012 К^{-1}$, опускают в калориметр. Начальная температура бруска $t = 0,0^{ \circ} С$. В калориметре находится $m_{1} = 0,50 кг$ воды при температуре $t = 45^{ \circ} С$. Найти установившуюся температуру воды в калориметре. Теплоемкостью калориметра и тепловыми потерями пренебречь. Удельная теплоемкость воды $c_{1} = 4,2 \cdot 10^{3} Дж / (кг \cdot К)$.
Решение:
Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Горячая вода отдает
$Q_{отд} = m_{1}c_{1} (t_{1} - \theta)$ (1)
теплоты, где $\theta$ - окончательная температура в калориметре. Это количество теплоты передается бруску, специфическое свойство которого -зависимость теплоемкости от температуры $C(t)$, усложняет процедуру расчета. Площадь под графиком зависимости $C(t)$ равна
$S_{O \theta C_{1}C_{0}} = \sum_{i} C(t_{i}) \Delta t_{i}$,
где $i$ - определяет номер участка разбиения. С другой стороны, полученное количество теплоты
$Q_{пол} = \sum_{i} C(t_{i}) \Delta t_{i} m_{0} = m_{0} \sum_{i} C(t_{i}) \Delta t_{i}$.
Таким образом,
$Q_{пол} = m_{0} S_{O \theta C_{1}C_{0}}$.
Площадь $S \theta C_{1}C_{2}$ найдем как площадь трапеции
$S_{O \theta C_{1}C_{2}} = \frac{C_{0} + C_{1}}{2} \theta = \frac{C_{0} + C_{0} (1 + \alpha \theta)}{2} \theta = C_{0} \theta + \frac{ \alpha C_{0} \theta^{2}}{2}$
и, следовательно,
$Q_{пол} = m_{0} C_{0} \left ( \theta + \frac{ \alpha \theta^{2}}{2} \right )$. (2)
Приравнивая (1) и (2), получаем квадратное уравнение относительно $\theta$.
$m_{0} C_{0} \frac{ \alpha}{2} \theta^{2} + m_{0} C_{0} \theta = m_{1} C_{1} t_{1} - m_{1}C_{1} \theta$.
В приведенном виде
$\theta^{2} + \frac{2( m_{0}C_{0} + m_{1}C_{1})}{ \alpha m_{0} C_{0}} - \frac{2m_{1} C_{1}t_{1}}{ \alpha m_{0} C_{0}} = 0$.
Это уравнение в числах
$\theta^{2} + 436 \theta - 12115 = 0$
имеет один из корней
$\theta \approx 26^{ \circ} С$.
Второй корень физического смысла не имеет, он появился как следствие неоправданного использования формулы (2) в области $\theta < 0$.
Брусок массой $m_{0} = 1,0 кг$, изготовленный из материала, удельная теплоемкость которого зависит от температуры $t$ по закону $c(t) = c_{0}(1 + \alpha t)$, где $c_{0} = 1,3 \cdot 10^{3} Дж /(кг \cdot К), \alpha = 0,012 К^{-1}$, опускают в калориметр. Начальная температура бруска $t = 0,0^{ \circ} С$. В калориметре находится $m_{1} = 0,50 кг$ воды при температуре $t = 45^{ \circ} С$. Найти установившуюся температуру воды в калориметре. Теплоемкостью калориметра и тепловыми потерями пренебречь. Удельная теплоемкость воды $c_{1} = 4,2 \cdot 10^{3} Дж / (кг \cdot К)$.
Решение:
Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Горячая вода отдает
$Q_{отд} = m_{1}c_{1} (t_{1} - \theta)$ (1)
теплоты, где $\theta$ - окончательная температура в калориметре. Это количество теплоты передается бруску, специфическое свойство которого -зависимость теплоемкости от температуры $C(t)$, усложняет процедуру расчета. Площадь под графиком зависимости $C(t)$ равна
$S_{O \theta C_{1}C_{0}} = \sum_{i} C(t_{i}) \Delta t_{i}$,
где $i$ - определяет номер участка разбиения. С другой стороны, полученное количество теплоты
$Q_{пол} = \sum_{i} C(t_{i}) \Delta t_{i} m_{0} = m_{0} \sum_{i} C(t_{i}) \Delta t_{i}$.
Таким образом,
$Q_{пол} = m_{0} S_{O \theta C_{1}C_{0}}$.
Площадь $S \theta C_{1}C_{2}$ найдем как площадь трапеции
$S_{O \theta C_{1}C_{2}} = \frac{C_{0} + C_{1}}{2} \theta = \frac{C_{0} + C_{0} (1 + \alpha \theta)}{2} \theta = C_{0} \theta + \frac{ \alpha C_{0} \theta^{2}}{2}$
и, следовательно,
$Q_{пол} = m_{0} C_{0} \left ( \theta + \frac{ \alpha \theta^{2}}{2} \right )$. (2)
Приравнивая (1) и (2), получаем квадратное уравнение относительно $\theta$.
$m_{0} C_{0} \frac{ \alpha}{2} \theta^{2} + m_{0} C_{0} \theta = m_{1} C_{1} t_{1} - m_{1}C_{1} \theta$.
В приведенном виде
$\theta^{2} + \frac{2( m_{0}C_{0} + m_{1}C_{1})}{ \alpha m_{0} C_{0}} - \frac{2m_{1} C_{1}t_{1}}{ \alpha m_{0} C_{0}} = 0$.
Это уравнение в числах
$\theta^{2} + 436 \theta - 12115 = 0$
имеет один из корней
$\theta \approx 26^{ \circ} С$.
Второй корень физического смысла не имеет, он появился как следствие неоправданного использования формулы (2) в области $\theta < 0$.
