Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2589
2017-03-30 
В высокий цилиндрический сосуд радиусом $R$ до уровня $h$ налита жидкость плотностью $\rho$. В сосуд помещают сплошной однородный цилиндр радиусом $r (r < R)$, высотой $l (l < h)$ и плотностью $\rho_{c} ( \rho_{c} < \rho)$, который свободно плавает на поверхности. На него ставят другой такой же цилиндр. И так далее. При каком минимальном количестве цилиндров, нижний цилиндр "пирамиды" достанет дна? Жидкость из сосуда не выливается, ось "пирамиды" остается все время вертикальной.
Решение:
Пусть длина всей пирамиды, которая коснулась дна, есть $L$. Запишем условие плавания тел
$F_{арх} = mg$
или
$(h + \Delta h) \pi r^{2} \rho g = \pi r^{2} L \rho_{c} g$,
где $\Delta h$ - подъем уровня жидкости, вследствие вытеснения ее цилиндрами. После сокращения получим
$(h + \Delta h) \rho = L \rho_{c}$. (1)
Условие несжимаемости жидкости позволяет написать второе уравнение
$\pi r^{2} h = \pi ( R^{2} - r^{2}) \Delta h$. (2)
Из (2) из (1) и (2) следует, что
$L = \frac{R^{2}}{R^{2} - r^{2}} \cdot \frac{ \rho}{ \rho_{c}} h$.
Теперь совсем просто подсчитать число цилиндров в колонне
$N = \frac{L}{l}$,
причем, если $L$ нацело делится на $l$, то это и будет ответ в задаче. Если же в результате деления мы получаем дробное число, то ответом будет следующее утверждение: число цилиндров равно целой части числа $ \frac{R^{2} \rho h}{(R^{2} - r^{2}) \rho_{c} l}$ плюс еще один.
В высокий цилиндрический сосуд радиусом $R$ до уровня $h$ налита жидкость плотностью $\rho$. В сосуд помещают сплошной однородный цилиндр радиусом $r (r < R)$, высотой $l (l < h)$ и плотностью $\rho_{c} ( \rho_{c} < \rho)$, который свободно плавает на поверхности. На него ставят другой такой же цилиндр. И так далее. При каком минимальном количестве цилиндров, нижний цилиндр "пирамиды" достанет дна? Жидкость из сосуда не выливается, ось "пирамиды" остается все время вертикальной.
Решение:
Пусть длина всей пирамиды, которая коснулась дна, есть $L$. Запишем условие плавания тел
$F_{арх} = mg$
или
$(h + \Delta h) \pi r^{2} \rho g = \pi r^{2} L \rho_{c} g$,
где $\Delta h$ - подъем уровня жидкости, вследствие вытеснения ее цилиндрами. После сокращения получим
$(h + \Delta h) \rho = L \rho_{c}$. (1)
Условие несжимаемости жидкости позволяет написать второе уравнение
$\pi r^{2} h = \pi ( R^{2} - r^{2}) \Delta h$. (2)
Из (2) из (1) и (2) следует, что
$L = \frac{R^{2}}{R^{2} - r^{2}} \cdot \frac{ \rho}{ \rho_{c}} h$.
Теперь совсем просто подсчитать число цилиндров в колонне
$N = \frac{L}{l}$,
причем, если $L$ нацело делится на $l$, то это и будет ответ в задаче. Если же в результате деления мы получаем дробное число, то ответом будет следующее утверждение: число цилиндров равно целой части числа $ \frac{R^{2} \rho h}{(R^{2} - r^{2}) \rho_{c} l}$ плюс еще один.
