Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2582
2017-03-29 
В днище ящика расположены две подвижные опоры, которые совершают относительно ящика одномерные противофазные гармонические колебания с амплитудой $a = 1,0 см$ и круговой частотой $\omega = 180 с^{-1}$. Ящик поставлен на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha = 1,0^{ \circ} С$ с горизонтом. Коэффициент трения опор о наклонную плоскость $\mu = 0,20$. Найдите среднюю установившуюся скорость движения ящика по наклонной плоскости.
Решение:
Сила трения направлена в сторону противоположную направлению скорости движения тела относительно поверхности. Если бы ящик покоился, то суммарная сила трения, действующая на ящик была бы равна нулю (так как опоры колеблются в противофазе, то силы трения, действующие на них все время направлены в противоположные стороны). Когда ящик начинает двигаться, то в течении некоторого интервала времени опоры будут двигаться в одну сторону относительно наклонной плоскости. Пусть скорость первой опоры относительно ящика зависит от времени по закону
$v_{1}^{ \prime} = a \omega \sin \omega t$,
тогда скорость второй
$v_{2}^{ \prime} = - a \omega \sin \omega t$.
Если скорость ящика равна $U$, то скорости платформ относительно наклонной плоскости равны
$\begin{cases} v_{1} = U + a \omega \sin \omega t, \\ v_{2} = U - a \omega \sin \omega t. \end{cases}$
Суммарная сила трения отлична от нуля, когда $v_{1} > 0, v_{2} > 0$ (при этом сила трения направлена вверх по наклонной плоскости). Заметим, что условия $v_{1} < 0, v_{2} < 0$ при неположительном $U$ не выполняются никогда. Так как угол наклона плоскости $\alpha$ мал, то можно предположить, что средняя скорость движения ящика значительно меньше максимальной скорости движения опор $a \omega$ (справедливость этого предположения проверим ato позже). Итак, сила трения отлична от нуля и равна при выполнении условий
$\begin{cases} v_{1} > 0 \\ v_{2} > 0 \end{cases}$, $\begin{cases} a \omega \sin \omega t > - U, \\ a \omega \sin \omega t < U \end{cases}$.
Изобразим график $v_{1}(t)$ и отметим те интервалы, в которых выполняется (4) (на рис. заштрихованы).
Так как $U$ мало по сравнению с $a \omega$, то интервал $\tau$ также мал по сравнению с периодом колебаний. Поэтому можно считать $\sin \omega \tau \approx \omega \tau$, тогда из (4) получим $a \omega^{2} \tau = U$, откуда
$\tau = \frac{U}{a \omega^{2}}$.
За время одного периода колебаний $T = \frac{2 \pi}{ \omega}$, в течение интервала времени $4 \tau$ сила трения равна $\mu mg \cos \alpha$, а в остальные моменты она равна нулю. Следовательно, средняя сила трения
$F_{ср} = \mu mg \cos \alpha \frac{4 \tau}{T} \approx \frac{2U}{ \pi a \omega} \mu mg$.
(здесь учтена малость $\alpha$, тогда $\cos \alpha \approx 1$).
При установившемся движении эта сила равна проекции силы тяжести на наклонную плоскость:
$mg \sin \alpha = \frac{2U}{ \pi a \omega} \mu mg$.
Откуда следует (с учетом $\sin \alpha \approx \alpha$)
$U = \frac{ \pi a \omega \sin \alpha}{2 \mu} \approx \frac{ \pi a \omega \alpha}{2 \mu}$.
Подстановка численных значений приводим к результату
$U \approx 0,25 см/с$.
Как и следовало ожидать $U \ll a \omega$, поэтому сделанное ранее приближения вполне обоснованы.
В днище ящика расположены две подвижные опоры, которые совершают относительно ящика одномерные противофазные гармонические колебания с амплитудой $a = 1,0 см$ и круговой частотой $\omega = 180 с^{-1}$. Ящик поставлен на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha = 1,0^{ \circ} С$ с горизонтом. Коэффициент трения опор о наклонную плоскость $\mu = 0,20$. Найдите среднюю установившуюся скорость движения ящика по наклонной плоскости.
Решение:
Сила трения направлена в сторону противоположную направлению скорости движения тела относительно поверхности. Если бы ящик покоился, то суммарная сила трения, действующая на ящик была бы равна нулю (так как опоры колеблются в противофазе, то силы трения, действующие на них все время направлены в противоположные стороны). Когда ящик начинает двигаться, то в течении некоторого интервала времени опоры будут двигаться в одну сторону относительно наклонной плоскости. Пусть скорость первой опоры относительно ящика зависит от времени по закону
$v_{1}^{ \prime} = a \omega \sin \omega t$,
тогда скорость второй
$v_{2}^{ \prime} = - a \omega \sin \omega t$.
Если скорость ящика равна $U$, то скорости платформ относительно наклонной плоскости равны
$\begin{cases} v_{1} = U + a \omega \sin \omega t, \\ v_{2} = U - a \omega \sin \omega t. \end{cases}$
Суммарная сила трения отлична от нуля, когда $v_{1} > 0, v_{2} > 0$ (при этом сила трения направлена вверх по наклонной плоскости). Заметим, что условия $v_{1} < 0, v_{2} < 0$ при неположительном $U$ не выполняются никогда. Так как угол наклона плоскости $\alpha$ мал, то можно предположить, что средняя скорость движения ящика значительно меньше максимальной скорости движения опор $a \omega$ (справедливость этого предположения проверим ato позже). Итак, сила трения отлична от нуля и равна при выполнении условий
$\begin{cases} v_{1} > 0 \\ v_{2} > 0 \end{cases}$, $\begin{cases} a \omega \sin \omega t > - U, \\ a \omega \sin \omega t < U \end{cases}$.
Изобразим график $v_{1}(t)$ и отметим те интервалы, в которых выполняется (4) (на рис. заштрихованы).
Так как $U$ мало по сравнению с $a \omega$, то интервал $\tau$ также мал по сравнению с периодом колебаний. Поэтому можно считать $\sin \omega \tau \approx \omega \tau$, тогда из (4) получим $a \omega^{2} \tau = U$, откуда
$\tau = \frac{U}{a \omega^{2}}$.
За время одного периода колебаний $T = \frac{2 \pi}{ \omega}$, в течение интервала времени $4 \tau$ сила трения равна $\mu mg \cos \alpha$, а в остальные моменты она равна нулю. Следовательно, средняя сила трения
$F_{ср} = \mu mg \cos \alpha \frac{4 \tau}{T} \approx \frac{2U}{ \pi a \omega} \mu mg$.
(здесь учтена малость $\alpha$, тогда $\cos \alpha \approx 1$).
При установившемся движении эта сила равна проекции силы тяжести на наклонную плоскость:
$mg \sin \alpha = \frac{2U}{ \pi a \omega} \mu mg$.
Откуда следует (с учетом $\sin \alpha \approx \alpha$)
$U = \frac{ \pi a \omega \sin \alpha}{2 \mu} \approx \frac{ \pi a \omega \alpha}{2 \mu}$.
Подстановка численных значений приводим к результату
$U \approx 0,25 см/с$.
Как и следовало ожидать $U \ll a \omega$, поэтому сделанное ранее приближения вполне обоснованы.
