ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-03-29   
В установке, показанной на рисунке, массы грузов одинаковы и равны $m$, жесткость пружины $k$. Трения нет, нить и блок невесомы. В начальный момент времени грузы покоятся, пружина не деформирована. Грузы отпускают. Найдите пределы изменения ускорения грузов и их максимальную скорость.



Решение:



Пусть грузы сместятся на расстояние $x$. На основании второго закона Ньютона можно записать

$\begin{cases} ma = mg - T,\\ ma = - T - kx, \end{cases}$ (1)

где $T$ - натяжение нити, $- kx$ - сила упругости пружины. Исключая из системы (1) величину $T$ получим

$a = \frac{g}{2} - \frac{k}{2m} x$. (2)

Запишем также уравнение закона сохранения энергии

$mgx = 2 \frac{mv^{2}}{2} + \frac{kx^{2}}{2}$. (3)

Из (3) найдем экстремальные смещения грузов (когда $v = 0$)

$x_{0} = 0, x_{1} = 2 \frac{mg}{k}$. (4)

Из уравнения (2) следует, что ускорения грузов линейно зависят от их смещения, следовательно, пределы изменения ускорения соответствуют предельным значениям $x$,

$a_{0} = \frac{g}{2}, a_{1} = - \frac{g}{2}$. (5)

Скорость грузов максимальна, когда их ускорение равно нулю, т.е. при $x = \frac{mg}{k}$, из (3) находим

$v_{max} = \sqrt{ \frac{m}{2k}} g$ (6)

Укажем еще один способ решения. Уравнение (2) есть уравнение гармонических колебаний с частотой

$\omega = \sqrt{ \frac{k}{2m}}$.

Положению равновесия соответствует координата

$x = \frac{mg}{k}$,

учитывая, что начальное положение есть $x = 0$, можно сказать, что амплитуда колебаний грузов

$A = \frac{mg}{k}$.

Тогда максимальная скорость

$v_{max} = A \omega = \frac{mg}{k} \sqrt{ \frac{k}{2m}} = g \sqrt{ \frac{m}{2k}}$;

максимальное ускорение

$a_{max} = A \omega^{2} = \frac{mg}{k} \frac{k}{2m} = \frac{g}{2}$.