Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2578
2017-03-29 
Для отправки команды школьников Беларуси на международную олимпиаду по физике пробурили идеально прямой туннель Барановичи -Пекин. Вагон с пассажирами может двигаться по этому туннелю без трения, только под действием силы тяжести. Рассчитайте время движения от Барановичей до Пекина. (Радиус Земли принять 6400 км.)
Решение:
При движении вагона внутри туннеля сила тяжести вагона будет изменяться при изменении расстояния до центра Земли. Найдем ускорение свободного падения $g$ в точке, находящейся на расстоянии $r$ до центра Земли. Слои, находящиеся на большем расстоянии от центра не будут вносить вклад в величину силы тяжести. Поэтому по закону всемирного тяготения
$mg = G \frac{m}{r^{2}} \frac{4}{3} \pi \rho r^{3} = \frac{4 \pi}{3} G mr \rho$, (1)
где $\rho$ — средняя плотность Земли, $G$ — гравитационная постоянная. Учитывая, что на поверхности Земли ускорение свободного падения равно $g_{0} = 9,8 м/с^{2}$, из (1) можно записать
$g = g_{0} \frac{r}{R}$, (2)
где $R$ — радиус Земли.
Пусть ось X направлена вдоль туннеля, начало отсчета совместим с его центром. Тогда в точке A, находящейся на расстоянии $r = |AC|$ от центра Земли, ускорение вагона может быть найдено из второго закона Ньютона
$ma = - mg \sin \alpha$, (3)
учитывая (1), получим
$a = - g_{0} \frac{r}{R} \sin \alpha = - \frac{ \epsilon_{0}}{R} x$, (4)
где $x = r \sin \alpha$ координата точки A. (4) есть уравнение гармонических колебаний, с круговой частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{g_{0}}{R}}$,
Время движения в одну сторону $\tau$ равно половине периода колебаний, т.е.
$\tau = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \frac{2 \pi}{ \omega} = \pi \sqrt{ \frac{R}{g_{0}}} \approx 2540 с \approx 40 мин$. (5)
Интересно заметить, что это время остается одним и тем же для любых точек, находящихся на поверхности Земли и соединенных прямым туннелем.
Для отправки команды школьников Беларуси на международную олимпиаду по физике пробурили идеально прямой туннель Барановичи -Пекин. Вагон с пассажирами может двигаться по этому туннелю без трения, только под действием силы тяжести. Рассчитайте время движения от Барановичей до Пекина. (Радиус Земли принять 6400 км.)
Решение:
При движении вагона внутри туннеля сила тяжести вагона будет изменяться при изменении расстояния до центра Земли. Найдем ускорение свободного падения $g$ в точке, находящейся на расстоянии $r$ до центра Земли. Слои, находящиеся на большем расстоянии от центра не будут вносить вклад в величину силы тяжести. Поэтому по закону всемирного тяготения
$mg = G \frac{m}{r^{2}} \frac{4}{3} \pi \rho r^{3} = \frac{4 \pi}{3} G mr \rho$, (1)
где $\rho$ — средняя плотность Земли, $G$ — гравитационная постоянная. Учитывая, что на поверхности Земли ускорение свободного падения равно $g_{0} = 9,8 м/с^{2}$, из (1) можно записать
$g = g_{0} \frac{r}{R}$, (2)
где $R$ — радиус Земли.
Пусть ось X направлена вдоль туннеля, начало отсчета совместим с его центром. Тогда в точке A, находящейся на расстоянии $r = |AC|$ от центра Земли, ускорение вагона может быть найдено из второго закона Ньютона
$ma = - mg \sin \alpha$, (3)
учитывая (1), получим
$a = - g_{0} \frac{r}{R} \sin \alpha = - \frac{ \epsilon_{0}}{R} x$, (4)
где $x = r \sin \alpha$ координата точки A. (4) есть уравнение гармонических колебаний, с круговой частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{g_{0}}{R}}$,
Время движения в одну сторону $\tau$ равно половине периода колебаний, т.е.
$\tau = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \frac{2 \pi}{ \omega} = \pi \sqrt{ \frac{R}{g_{0}}} \approx 2540 с \approx 40 мин$. (5)
Интересно заметить, что это время остается одним и тем же для любых точек, находящихся на поверхности Земли и соединенных прямым туннелем.
