Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2559
2017-03-29 
Диск радиусом $R$ катится без проскальзывания по боковой поверхности круглого выреза радиусом $2R$ в плоской пластине. Центр диска движется с постоянной по модулю скоростью $v$. Каковы траектории движения точек А, В, С? Чему равна максимальная скорость их движения?
Решение:
Рассмотрим движение точки А. Пусть она переходит в точку $A_{1}, D$ — новая точка касания выреза. При таком повороте колеса на угол $\theta$ его центр сместится на угол $\phi$ относительно центра выреза. Так как качение происходит без проскальзывания, то длины дуг $AD$ и $A_{1}D$ равны, то есть
$R \theta = 2R \phi$
или
$\theta = 2 \phi$.
Запишем координаты точки $A_{1}$
$x = R \cos \phi + R \cos ( \theta - \phi)$,
$y = R \sin \phi - R \sin ( \theta - \phi)$,
С учетом связи между углами $\theta$ и $\phi$, получим
$\begin{cases} x=2r \cos \theta, \\ y=0. \end{cases}$
Таким образом, при изменении угла $\phi$ от 0 до $2 \pi$, $x$ изменяется от $2R$ до $- 2R$, а $y$ при этом остается равным нулю. Иными словами траектория точки есть диаметр выреза, проходящий через точку. Аналогично можно показать, что траектории точек В и С также являются отрезками прямых (диаметрами). Какими, подумайте самостоятельно.
Диск радиусом $R$ катится без проскальзывания по боковой поверхности круглого выреза радиусом $2R$ в плоской пластине. Центр диска движется с постоянной по модулю скоростью $v$. Каковы траектории движения точек А, В, С? Чему равна максимальная скорость их движения?
Решение:
Рассмотрим движение точки А. Пусть она переходит в точку $A_{1}, D$ — новая точка касания выреза. При таком повороте колеса на угол $\theta$ его центр сместится на угол $\phi$ относительно центра выреза. Так как качение происходит без проскальзывания, то длины дуг $AD$ и $A_{1}D$ равны, то есть
$R \theta = 2R \phi$
или
$\theta = 2 \phi$.
Запишем координаты точки $A_{1}$
$x = R \cos \phi + R \cos ( \theta - \phi)$,
$y = R \sin \phi - R \sin ( \theta - \phi)$,
С учетом связи между углами $\theta$ и $\phi$, получим
$\begin{cases} x=2r \cos \theta, \\ y=0. \end{cases}$
Таким образом, при изменении угла $\phi$ от 0 до $2 \pi$, $x$ изменяется от $2R$ до $- 2R$, а $y$ при этом остается равным нулю. Иными словами траектория точки есть диаметр выреза, проходящий через точку. Аналогично можно показать, что траектории точек В и С также являются отрезками прямых (диаметрами). Какими, подумайте самостоятельно.
