Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2555
2017-03-28 
Цилиндрическая горизонтальная трубка радиусом $r = 1,0 см$ наполовину заполнена водой. Через трубку постоянно прокачивают воздух. Температура воздуха и воды в трубке равна $t = 20^{ \circ} С$, влажность воздуха, поступающего в трубку, равна $\phi = 60%$. Известно, что при данной температуре $\eta = 4,0%$ молекул водяного пара, попадающих на поверхность воды, задерживаются ею. Оцените время, за которое вся вода в трубке испарится. Давление насыщенных паров воды при температуре $t = 20^{ \circ} С$ равно $P_{0} = 2,3 кПа$.
Решение:
Процесс испарения заключается в том, что часть молекул жидкости вылетает из ее поверхности. Непосредственно подсчитать количество таких молекул довольно трудно. Однако можно найти количество молекул, попадающих из пара в жидкость. Если жидкость и пар находятся в равновесии (а такой пар называется насыщенным), то количество молекул, покидающих поверхность жидкости, в среднем равно количеству молекул, попадающих внутрь жидкости. Так как температура и парциальное давление насыщенного пара известны, то можно найти число молекул, попадающих на единицу площади поверхности в единицу времени. Действительно, число ударов молекул газа о площадь $S$ поверхности за время $\Delta t$ равно
$N_{0} = \frac{1}{4} n v_{cp} S \Delta t$,
где $n$ — концентрация молекул газа, $v_{ср}$ - средняя скорость молекул. Из уравнения $P = nkT$ можно получить $n = \frac{P}{kT}$, а средняя скорость $v_{ср} = \sqrt{ \frac{8}{ \pi} \frac{kT}{m}}$.
Из общего числа молекул, падающих на поверхность, только $\eta = 0,04$ задерживается ею, поэтому число молекул, попадающих внутрь жидкости, а следовательно, вылетающих из нее, равно
$N_{1} = \eta N_{0} = \frac{ \eta P_{0} S \Delta t}{ \sqrt{2 \pi kTm}}$. (2)
Так как, в данном случае, над жидкостью пар не насыщенный, то концентрация молекул пара меньше, и, по определению влажности $\phi, n = \phi n_{0}$, где $n_{0}$ — концентрация молекул насыщенного пара. Тогда число молекул, попадающих внутрь жидкости, равно
$N_{2} = \frac{ \eta \phi P_{0}}{ \sqrt{2 \pi kT m}} S \Delta t$. (3)
Таким образом, за время $\Delta t$ жидкость теряет $N = N_{1} - N_{2}$ молекул
$N = \frac{ \eta ( 1 - \phi)P_{0}}{ \sqrt{2 \pi kTm}} S \Delta t$. (4)
Найдем на сколько изменяется масса жидкости
$\Delta M = mN = \eta ( 1 - \phi) P_{0} S \Delta t \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT}}$,
а объем, соответственно, на
$\Delta V = \frac{ \Delta m}{ \rho} = \frac{ \eta (1 - \phi) P_{0}}{ \rho} S \Delta t \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT}}$
Так как площадь поверхности изменяется по мере высыхания, таким образом величина $\Delta V$ не остается постоянной. Однако скорость изменения высоты уровня жидкости в трубке $\Delta h = \frac{ \Delta V}{S}$ постоянна. Полное изменение высоты равно радиусу трубки $r$. Поэтому
$r = \frac{ \eta ( 1 - \phi)P_{0}}{ \rho} \Delta t \sqrt{ \frac{ \mu}{2 \pi RT}}$,
где $\mu$ — молярная масса воды, $R$ — универсальная газовая постоянная. Из этого уравнения получим время испарения:
$\Delta t = \frac{r \rho}{ \eta (1 - \phi) P_{0}} \sqrt{ \frac{2 \pi RT}{ \mu}} \approx 250 с$.
Отметим, что при решении этой задачи можно было использовать формулу для среднего числа ударов молекул о поверхность, приведенную в школьном учебнике (с коэффициентом 1/6) и вместо средней скорости пользоваться среднеквадратичной (также используемой в школьном курсе физики) - это не скажется существенно на оценке времени испарения.
Цилиндрическая горизонтальная трубка радиусом $r = 1,0 см$ наполовину заполнена водой. Через трубку постоянно прокачивают воздух. Температура воздуха и воды в трубке равна $t = 20^{ \circ} С$, влажность воздуха, поступающего в трубку, равна $\phi = 60%$. Известно, что при данной температуре $\eta = 4,0%$ молекул водяного пара, попадающих на поверхность воды, задерживаются ею. Оцените время, за которое вся вода в трубке испарится. Давление насыщенных паров воды при температуре $t = 20^{ \circ} С$ равно $P_{0} = 2,3 кПа$.
Решение:
Процесс испарения заключается в том, что часть молекул жидкости вылетает из ее поверхности. Непосредственно подсчитать количество таких молекул довольно трудно. Однако можно найти количество молекул, попадающих из пара в жидкость. Если жидкость и пар находятся в равновесии (а такой пар называется насыщенным), то количество молекул, покидающих поверхность жидкости, в среднем равно количеству молекул, попадающих внутрь жидкости. Так как температура и парциальное давление насыщенного пара известны, то можно найти число молекул, попадающих на единицу площади поверхности в единицу времени. Действительно, число ударов молекул газа о площадь $S$ поверхности за время $\Delta t$ равно
$N_{0} = \frac{1}{4} n v_{cp} S \Delta t$,
где $n$ — концентрация молекул газа, $v_{ср}$ - средняя скорость молекул. Из уравнения $P = nkT$ можно получить $n = \frac{P}{kT}$, а средняя скорость $v_{ср} = \sqrt{ \frac{8}{ \pi} \frac{kT}{m}}$.
Из общего числа молекул, падающих на поверхность, только $\eta = 0,04$ задерживается ею, поэтому число молекул, попадающих внутрь жидкости, а следовательно, вылетающих из нее, равно
$N_{1} = \eta N_{0} = \frac{ \eta P_{0} S \Delta t}{ \sqrt{2 \pi kTm}}$. (2)
Так как, в данном случае, над жидкостью пар не насыщенный, то концентрация молекул пара меньше, и, по определению влажности $\phi, n = \phi n_{0}$, где $n_{0}$ — концентрация молекул насыщенного пара. Тогда число молекул, попадающих внутрь жидкости, равно
$N_{2} = \frac{ \eta \phi P_{0}}{ \sqrt{2 \pi kT m}} S \Delta t$. (3)
Таким образом, за время $\Delta t$ жидкость теряет $N = N_{1} - N_{2}$ молекул
$N = \frac{ \eta ( 1 - \phi)P_{0}}{ \sqrt{2 \pi kTm}} S \Delta t$. (4)
Найдем на сколько изменяется масса жидкости
$\Delta M = mN = \eta ( 1 - \phi) P_{0} S \Delta t \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT}}$,
а объем, соответственно, на
$\Delta V = \frac{ \Delta m}{ \rho} = \frac{ \eta (1 - \phi) P_{0}}{ \rho} S \Delta t \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT}}$
Так как площадь поверхности изменяется по мере высыхания, таким образом величина $\Delta V$ не остается постоянной. Однако скорость изменения высоты уровня жидкости в трубке $\Delta h = \frac{ \Delta V}{S}$ постоянна. Полное изменение высоты равно радиусу трубки $r$. Поэтому
$r = \frac{ \eta ( 1 - \phi)P_{0}}{ \rho} \Delta t \sqrt{ \frac{ \mu}{2 \pi RT}}$,
где $\mu$ — молярная масса воды, $R$ — универсальная газовая постоянная. Из этого уравнения получим время испарения:
$\Delta t = \frac{r \rho}{ \eta (1 - \phi) P_{0}} \sqrt{ \frac{2 \pi RT}{ \mu}} \approx 250 с$.
Отметим, что при решении этой задачи можно было использовать формулу для среднего числа ударов молекул о поверхность, приведенную в школьном учебнике (с коэффициентом 1/6) и вместо средней скорости пользоваться среднеквадратичной (также используемой в школьном курсе физики) - это не скажется существенно на оценке времени испарения.
