Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2532
2017-03-27 
В углу аквариума находится клин массой $M$ с углом при вершине $\alpha$, который может скользить вдоль вертикальной стенки. Какой максимальный уровень воды установится в аквариуме, если коэффициент трения клина о вертикальную стенку $\mu$? Ширина клина $l$, плотность жидкости $\rho$.
Решение:
Пусть в рассматриваемый момент уровень воды в аквариуме равен $H$. Тогда среднее давление жидкости на клин $P_{ср} = \frac{1}{2} \rho gH$, соответственно средняя сила давления
$F_{Д} = \frac{1}{2} \rho ghl \frac{h}{ \cos \alpha}$, (1)
где $l$ - ширина клина. Сила $\vec{F}_{Д}$ стремится приподнять клин, а силы тяжести и трения препятствуют этому. Понятно, что если при некотором значении $H$ клин все же будет приподнят, таким образом вода начнется выливаться из аквариума и клин опуститься.
Таким "автоколебательным" режимом и будет установлен возможный максимальный уровень жидкости в аквариуме. Условие равновесия клина
$m \vec{g} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_{Д} + \vec{N} = О$. (2)
Атмосферным давлением, обратите внимание, мы, записывая (2), пренебрегли. Подумайте самостоятельно, почему оно не вошло в значение $P_{ср}$. В проекциях на оси ОХ и ОY
$F_{Д} \cos \alpha = N$, (3)
$F_{Д} \sin \alpha = mg + F_{тр}$. (4)
В предельном случае (клин начинает подниматься)
$F_{тр} = \mu N = \mu F_{Д} \cos \alpha$.
И из (3)-(4) следует:
$F_{Д} = \frac{mg}{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha} = \frac{1}{2} \rho g \frac{1}{ \cos \alpha} H^{2}$,
откуда и получаем окончательный ответ
$H = \sqrt{ \frac{2mg}{ \rho gl ( tg \alpha - \mu)}}$. (5)
Выясним, всегда ли справедлив ответ в форме (5). Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому сразу отмечаем, что (5) имеет смысл при $\mu < tg \alpha$. Физически это означает, что клин может быть поднят только не при очень сильном трении. А как быть при $\mu \geq tg \alpha$? Понятно, что в этом случае условие (4) будет выполнено при значении силы трения $F_{тр}$ меньше предельного (т. е. трением покоя). И воды, следовательно, можно наливать сколько угодно в аквариум — ее максимальный уровень уже будет определяться иными причинами (например, высотой стенок).
В углу аквариума находится клин массой $M$ с углом при вершине $\alpha$, который может скользить вдоль вертикальной стенки. Какой максимальный уровень воды установится в аквариуме, если коэффициент трения клина о вертикальную стенку $\mu$? Ширина клина $l$, плотность жидкости $\rho$.
Решение:
Пусть в рассматриваемый момент уровень воды в аквариуме равен $H$. Тогда среднее давление жидкости на клин $P_{ср} = \frac{1}{2} \rho gH$, соответственно средняя сила давления
$F_{Д} = \frac{1}{2} \rho ghl \frac{h}{ \cos \alpha}$, (1)
где $l$ - ширина клина. Сила $\vec{F}_{Д}$ стремится приподнять клин, а силы тяжести и трения препятствуют этому. Понятно, что если при некотором значении $H$ клин все же будет приподнят, таким образом вода начнется выливаться из аквариума и клин опуститься.
Таким "автоколебательным" режимом и будет установлен возможный максимальный уровень жидкости в аквариуме. Условие равновесия клина
$m \vec{g} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_{Д} + \vec{N} = О$. (2)
Атмосферным давлением, обратите внимание, мы, записывая (2), пренебрегли. Подумайте самостоятельно, почему оно не вошло в значение $P_{ср}$. В проекциях на оси ОХ и ОY
$F_{Д} \cos \alpha = N$, (3)
$F_{Д} \sin \alpha = mg + F_{тр}$. (4)
В предельном случае (клин начинает подниматься)
$F_{тр} = \mu N = \mu F_{Д} \cos \alpha$.
И из (3)-(4) следует:
$F_{Д} = \frac{mg}{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha} = \frac{1}{2} \rho g \frac{1}{ \cos \alpha} H^{2}$,
откуда и получаем окончательный ответ
$H = \sqrt{ \frac{2mg}{ \rho gl ( tg \alpha - \mu)}}$. (5)
Выясним, всегда ли справедлив ответ в форме (5). Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому сразу отмечаем, что (5) имеет смысл при $\mu < tg \alpha$. Физически это означает, что клин может быть поднят только не при очень сильном трении. А как быть при $\mu \geq tg \alpha$? Понятно, что в этом случае условие (4) будет выполнено при значении силы трения $F_{тр}$ меньше предельного (т. е. трением покоя). И воды, следовательно, можно наливать сколько угодно в аквариум — ее максимальный уровень уже будет определяться иными причинами (например, высотой стенок).
