Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2530
2017-03-27 
Максимальная дальность полета камня, выпущенного из неподвижной катапульты, равна $S = 22,5м$. Найдите максимально возможную дальность полета камня, выпущенного из этой же катапульты, установленной на платформе, которая движется горизонтально с постоянной скоростью $v = 15,0 м/с$. Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения считать $g = 10,0 м/с^{2}$.
Решение:
Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном $45^{ \circ}$ и определяется формулой
$S = \frac{v_{0}^{2}}{g}$. (1)
Из этой формулы можно найти скорость, которую катапульта сообщает камню
$v_{0} = \sqrt{gS} = 15 м/с$.
Рассмотрим теперь полет камня, выпущенного из движущейся катапульты. Введем систему координат, оси которой: X — направлена горизонтально, а Y — вертикально. Начало координат совместим с положением катапульты в момент вылета камня.
Для вычисления вектора скорости камня необходимо учесть горизонтальную скорость движения катапульты $v = v_{0}$. Допустим, что катапульта выбрасывает камень под углом $\alpha$ к горизонту. Тогда компоненты начальной скорости камня в нашей системе координат могут быть записаны в виде
$v_{x0} = v_{0} + v_{0} \cos \alpha$ (2)
$v_{y0} = v_{0} \sin \alpha$.
Закон движения камня имеет вид
$x = v_{x0}t = v_{0} (1 + \cos \alpha)t$ (3)
$y = v_{y0}t - \frac{gt^{2}}{2} = v_{0}t \sin \alpha - \frac{gt^{2}}{2} $.
Из второго уравнения системы (3) найдем время полета, положив $y=0$,
$\tau = \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$. (4)
Подставив это выражение в первое уравнение системы (3), получим дальность полета камня
$S_{1} = v_{0} (1 + \cos \alpha) \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$. (5)
Отвлечемся немного от решения данной конкретной задачи и порассуждаем о полученном выражении. Во-первых, если катапульта неподвижна ($v = 0$), то формула (5) переходит в известное выражение для дальности полета тела, брошенного с начальной скоростью под углом $\alpha$ к горизонту
$S^{ \prime} = \frac{2v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{g}$. (6)
Во-вторых, из (5) совсем не следует, что $S_{1}$ будет максимально при $\alpha = 45^{ \circ}$ (это справедливо для (6), когда $v = 0$).
Предлагая эту задачу на республиканскую олимпиаду, авторы были убеждены, что девять десятых участников получат формулу (5) и затем подставят в нее значение $\alpha = 45^{ \circ}$. Однако, к нашему сожалению, мы ошиблись: ни один из олимпийцев не усомнился в том, что максимальная дальность полета всегда (!) достигается при угле вылета, равном $45^{ \circ}$. Этот широко известный факт имеет ограниченные рамки применимости: он справедлив только, если: а) не учитывать сопротивление воздуха; б) точка вылета и точка падения находятся на одном уровне; в) метательный снаряд неподвижен.
Вернемся к решению задачи.Итак, нам необходимо найти значение угла $\alpha$, при котором $S_{1}$, определяемое формулой (5), максимально. Можно, конечно, найти экстремум функции, используя аппарат дифференциального исчисления: найти производную, положить ее равной нулю и, решив полученное уравнение, найти искомое значение $\alpha$. Однако учитывая, что задача была предложена ученикам 9-х классов, мы дадим ее геометрическое решение. Воспользуемся тем обстоятельством, что $v = v_{0} = 15 м/с$.
Расположим векторы $\vec{v}$ и $\vec{v}_{0}$ как показано на рис. Так как их длины равны, то вокруг них можно описать окружность с центром в точке О. Тогда длина отрезка АС равна $v_{0} + v_{0} \cos \alpha$ (это есть $v_{x0}$), а длина отрезка ВС равна $v_{0} \sin \alpha$ (это $v_{y0}$). Их произведение равно удвоенной площади треугольника АВС, или площади треугольника $ABB_{1}$. Обратите внимание, что именно произведение $v_{x0}v_{y0}$ входит в выражение для дальности полета (5). Иными словами, дальность полета равна произведению площади $\Delta ABB_{1}$ на постоянный множитель $\frac{2}{g}$. А теперь зададимся вопросом: какой из вписанных в данную окружность треугольников имеет максимальную площадь? Естественно, правильный! Поэтому искомое значение угла $\alpha = 60^{ \circ}$.
Вектор $\vec{AB}$ есть вектор полной начальной скорости камня, он направлен под углом $30^{ \circ}$ к горизонту (опять же отнюдь не $45^{ \circ}$). Таким образом, окончательное решение задачи следует из формулы (5), в которую следует подставить $\alpha = 60^{ \circ}$.
$S_{1} = \frac{2v_{0}^{2}}{g} (1 + \cos 60^{ \circ}) \sin 60^{ \circ} = S \frac{3 \sqrt{3}}{2} = 58,5 м$.
Максимальная дальность полета камня, выпущенного из неподвижной катапульты, равна $S = 22,5м$. Найдите максимально возможную дальность полета камня, выпущенного из этой же катапульты, установленной на платформе, которая движется горизонтально с постоянной скоростью $v = 15,0 м/с$. Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения считать $g = 10,0 м/с^{2}$.
Решение:
Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном $45^{ \circ}$ и определяется формулой
$S = \frac{v_{0}^{2}}{g}$. (1)
Из этой формулы можно найти скорость, которую катапульта сообщает камню
$v_{0} = \sqrt{gS} = 15 м/с$.
Рассмотрим теперь полет камня, выпущенного из движущейся катапульты. Введем систему координат, оси которой: X — направлена горизонтально, а Y — вертикально. Начало координат совместим с положением катапульты в момент вылета камня.
Для вычисления вектора скорости камня необходимо учесть горизонтальную скорость движения катапульты $v = v_{0}$. Допустим, что катапульта выбрасывает камень под углом $\alpha$ к горизонту. Тогда компоненты начальной скорости камня в нашей системе координат могут быть записаны в виде
$v_{x0} = v_{0} + v_{0} \cos \alpha$ (2)
$v_{y0} = v_{0} \sin \alpha$.
Закон движения камня имеет вид
$x = v_{x0}t = v_{0} (1 + \cos \alpha)t$ (3)
$y = v_{y0}t - \frac{gt^{2}}{2} = v_{0}t \sin \alpha - \frac{gt^{2}}{2} $.
Из второго уравнения системы (3) найдем время полета, положив $y=0$,
$\tau = \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$. (4)
Подставив это выражение в первое уравнение системы (3), получим дальность полета камня
$S_{1} = v_{0} (1 + \cos \alpha) \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$. (5)
Отвлечемся немного от решения данной конкретной задачи и порассуждаем о полученном выражении. Во-первых, если катапульта неподвижна ($v = 0$), то формула (5) переходит в известное выражение для дальности полета тела, брошенного с начальной скоростью под углом $\alpha$ к горизонту
$S^{ \prime} = \frac{2v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{g}$. (6)
Во-вторых, из (5) совсем не следует, что $S_{1}$ будет максимально при $\alpha = 45^{ \circ}$ (это справедливо для (6), когда $v = 0$).
Предлагая эту задачу на республиканскую олимпиаду, авторы были убеждены, что девять десятых участников получат формулу (5) и затем подставят в нее значение $\alpha = 45^{ \circ}$. Однако, к нашему сожалению, мы ошиблись: ни один из олимпийцев не усомнился в том, что максимальная дальность полета всегда (!) достигается при угле вылета, равном $45^{ \circ}$. Этот широко известный факт имеет ограниченные рамки применимости: он справедлив только, если: а) не учитывать сопротивление воздуха; б) точка вылета и точка падения находятся на одном уровне; в) метательный снаряд неподвижен.
Вернемся к решению задачи.Итак, нам необходимо найти значение угла $\alpha$, при котором $S_{1}$, определяемое формулой (5), максимально. Можно, конечно, найти экстремум функции, используя аппарат дифференциального исчисления: найти производную, положить ее равной нулю и, решив полученное уравнение, найти искомое значение $\alpha$. Однако учитывая, что задача была предложена ученикам 9-х классов, мы дадим ее геометрическое решение. Воспользуемся тем обстоятельством, что $v = v_{0} = 15 м/с$.
Расположим векторы $\vec{v}$ и $\vec{v}_{0}$ как показано на рис. Так как их длины равны, то вокруг них можно описать окружность с центром в точке О. Тогда длина отрезка АС равна $v_{0} + v_{0} \cos \alpha$ (это есть $v_{x0}$), а длина отрезка ВС равна $v_{0} \sin \alpha$ (это $v_{y0}$). Их произведение равно удвоенной площади треугольника АВС, или площади треугольника $ABB_{1}$. Обратите внимание, что именно произведение $v_{x0}v_{y0}$ входит в выражение для дальности полета (5). Иными словами, дальность полета равна произведению площади $\Delta ABB_{1}$ на постоянный множитель $\frac{2}{g}$. А теперь зададимся вопросом: какой из вписанных в данную окружность треугольников имеет максимальную площадь? Естественно, правильный! Поэтому искомое значение угла $\alpha = 60^{ \circ}$.
Вектор $\vec{AB}$ есть вектор полной начальной скорости камня, он направлен под углом $30^{ \circ}$ к горизонту (опять же отнюдь не $45^{ \circ}$). Таким образом, окончательное решение задачи следует из формулы (5), в которую следует подставить $\alpha = 60^{ \circ}$.
$S_{1} = \frac{2v_{0}^{2}}{g} (1 + \cos 60^{ \circ}) \sin 60^{ \circ} = S \frac{3 \sqrt{3}}{2} = 58,5 м$.
