Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2528
2017-03-26 
Однородный стержень положен на два быстро вращающихся блока, как показано на рисунке. Расстояние между осями блоков $l = 20 см$, коэффициент трения между стержнем и блоками $\mu = 0,18$. Найдите период колебания стержня.
Решение:
Причина возникновения колебаний становится явной из рисунка. Сдвинем однородной стержень на расстояние $x$, например, вправо. Поскольку центр тяжести (точка $O^{ \prime}$ на рисунке) стержня при этом приблизится к правому цилиндру, то сила реакции опоры $\vec{N}_{1}$ станет по величине больше $\vec{N}_{2}$
$\begin{cases} N_{1} = mg \frac{l + 2x}{2l} \\ N_{2} = mg \frac{l - 2x}{2l} \end{cases}, N_{1} > N_{2} (0 \leq x \leq \frac{l}{2} )$. (1)
Уравнения (1) достаточно легко можно получить из условия равновесия стержня по вертикали (движение отсутствует) и отсутствия его вращения относительно центра масс. Так как цилиндры вращаются навстречу друг другу, то силы трения скольжения $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ также направлены навстречу друг другу. Их геометрическая сумма направлена к точке начального равновесия О и равна:
$\Delta F = F_{1} - F_{2} = kN_{1} - kN_{2} = k(N_{1} - N_{2}) = kmg \frac{2x}{l}$ (2)
Таким образом, уравнение движения стержня принимает хорошо известный вид:
$ma = - kmg \frac{2x}{l}$, (3)
Уравнение (3) описывает гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{2kg}} = \pi \sqrt{ \frac{2l}{kg}} = 1,5 с$.
Интересно отметить, что приведенный пример гармонических колебаний не нуждается в традиционном критерии малости: в однородном гравитационном поле мы должны побеспокоится только о том, чтобы центр тяжести стержня не вышел за цилиндр:
$x \leq \frac{l}{2}$. (4)
При этом величина амплитуды ограничивается только нашими «техническими» возможностями при демонстрации, а не принципиальными теоретическими положениями, как это было в случае математического и пружинного маятников.
Однородный стержень положен на два быстро вращающихся блока, как показано на рисунке. Расстояние между осями блоков $l = 20 см$, коэффициент трения между стержнем и блоками $\mu = 0,18$. Найдите период колебания стержня.
Решение:
Причина возникновения колебаний становится явной из рисунка. Сдвинем однородной стержень на расстояние $x$, например, вправо. Поскольку центр тяжести (точка $O^{ \prime}$ на рисунке) стержня при этом приблизится к правому цилиндру, то сила реакции опоры $\vec{N}_{1}$ станет по величине больше $\vec{N}_{2}$
$\begin{cases} N_{1} = mg \frac{l + 2x}{2l} \\ N_{2} = mg \frac{l - 2x}{2l} \end{cases}, N_{1} > N_{2} (0 \leq x \leq \frac{l}{2} )$. (1)
Уравнения (1) достаточно легко можно получить из условия равновесия стержня по вертикали (движение отсутствует) и отсутствия его вращения относительно центра масс. Так как цилиндры вращаются навстречу друг другу, то силы трения скольжения $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ также направлены навстречу друг другу. Их геометрическая сумма направлена к точке начального равновесия О и равна:
$\Delta F = F_{1} - F_{2} = kN_{1} - kN_{2} = k(N_{1} - N_{2}) = kmg \frac{2x}{l}$ (2)
Таким образом, уравнение движения стержня принимает хорошо известный вид:
$ma = - kmg \frac{2x}{l}$, (3)
Уравнение (3) описывает гармонические колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{2kg}} = \pi \sqrt{ \frac{2l}{kg}} = 1,5 с$.
Интересно отметить, что приведенный пример гармонических колебаний не нуждается в традиционном критерии малости: в однородном гравитационном поле мы должны побеспокоится только о том, чтобы центр тяжести стержня не вышел за цилиндр:
$x \leq \frac{l}{2}$. (4)
При этом величина амплитуды ограничивается только нашими «техническими» возможностями при демонстрации, а не принципиальными теоретическими положениями, как это было в случае математического и пружинного маятников.
