Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2522
2017-03-26 
Две удаленные друг от друга проводящие сферы, внешние радиусы которых $R$ и $3R$, имеют толщину стенок $R/20$. В центры сфер помещены заряды $Q$ и $2Q$. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поменять местами эти заряды (в стенках для этой цели предусмотрены маленькие отверстия)?
Решение:
Поле точечного заряда помещенного в центре проводящей сферы некоторой толщины, отличается от поля точечного заряда только в областях нахождения проводника: там оно «съедено» (вспомните принцип электростатической защиты). Таким образом, энергия полей в двух случаях отличаются только на энергию указанной области.
В условии задачи даны достаточно тонкие сферы - поэтому можно упростить расчет, считая плотность энергии поля постоянной по всему объему. В нашем случае:
$\Delta W = \frac{ \epsilon_{0} E^{2}}{2} V = \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \right ]^{2} 4 \pi R^{2} \Delta R$.
$W_{нан} = W_{Q} + W_{2Q} - \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \right ]^{2} 4 \pi R^{2} \Delta R - \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{2Q}{4 \pi \epsilon_{0} 9 R^{2}} \right ]^{2} 4 \pi 9 R^{2} \Delta R$.
$W_{кон} = W_{Q} + W_{2Q} - \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \right ] 4 \pi R^{2} \Delta R - \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{2Q}{4 \pi \epsilon_{0} 9 R^{2}} \right ]^{2} 4 \pi 9 R^{2} \Delta R$.
где $\Delta W$ - величина «съеденной» энергии поля, $W_{нан}$ и $W_{кон}$ соответственно начальное и конечное значение энергии системы. Согласно закону сохранения энергии:
$W_{кон} = W_{нан} + A$,
где $A$ - искомое значение зарядов минимальной работы по перестановке местами. В нашем случае:
$A = - \frac{Q^{2}}{60 \pi \epsilon_{0} R}$.
Две удаленные друг от друга проводящие сферы, внешние радиусы которых $R$ и $3R$, имеют толщину стенок $R/20$. В центры сфер помещены заряды $Q$ и $2Q$. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поменять местами эти заряды (в стенках для этой цели предусмотрены маленькие отверстия)?
Решение:
Поле точечного заряда помещенного в центре проводящей сферы некоторой толщины, отличается от поля точечного заряда только в областях нахождения проводника: там оно «съедено» (вспомните принцип электростатической защиты). Таким образом, энергия полей в двух случаях отличаются только на энергию указанной области.
В условии задачи даны достаточно тонкие сферы - поэтому можно упростить расчет, считая плотность энергии поля постоянной по всему объему. В нашем случае:
$\Delta W = \frac{ \epsilon_{0} E^{2}}{2} V = \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \right ]^{2} 4 \pi R^{2} \Delta R$.
$W_{нан} = W_{Q} + W_{2Q} - \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \right ]^{2} 4 \pi R^{2} \Delta R - \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{2Q}{4 \pi \epsilon_{0} 9 R^{2}} \right ]^{2} 4 \pi 9 R^{2} \Delta R$.
$W_{кон} = W_{Q} + W_{2Q} - \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \right ] 4 \pi R^{2} \Delta R - \frac{ \epsilon_{0}}{2} \left [ \frac{2Q}{4 \pi \epsilon_{0} 9 R^{2}} \right ]^{2} 4 \pi 9 R^{2} \Delta R$.
где $\Delta W$ - величина «съеденной» энергии поля, $W_{нан}$ и $W_{кон}$ соответственно начальное и конечное значение энергии системы. Согласно закону сохранения энергии:
$W_{кон} = W_{нан} + A$,
где $A$ - искомое значение зарядов минимальной работы по перестановке местами. В нашем случае:
$A = - \frac{Q^{2}}{60 \pi \epsilon_{0} R}$.
