Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 252
2014-05-31 
Имеются два источника тока с ЭДС $\cal{E} = 1 В$ и внутренним сопротивлением $r = 1 Ом$ каждый и два одинаковых сопротивления нагрузки $R = 1 Ом$. Какую замкнутую цепь надо собрать из элементов, чтобы:
а) коэффициент полезного действия источника был максимален
б) количество теплоты, выделяющееся на нагрузке, было минимальным?
Решение:
При включении нагрузки с сопротивлением $R_{н}$, в цепь с ЭДС $\cal{E_{0}}$ и внутренним сопротивлением источника $r_{0}$ по цепи течет ток
$I=\frac{\cal{E_{0}}}{r_{0}+R_{н}}$
и мощность на нагрузке
$W_{н}=I^{2}R_{н}=\frac{\cal{E_{0}^{2}}R_{н}}{(r_{0}+R_{н})^{2}}$. (1)
Мощность источника тока
$W=I \cal{E}=\frac{\cal{E^{2}_{0}}}{r_{0}+R_{н}}$
Коэффициент полезного действия цепи
$\eta = \frac{W_{н}}{W}=\frac{R_{н}}{r_{0}+R_{н}}=\frac{1}{1+r_{0}/R_{н}}$. (2)
Источники тока и сопротивления нагрузки можно соединять последовательно или параллельно. При этом можно построить четыре различные схемы, изображенные на (рис. а-г).
Из формулы (2) видно, что максимальный КПД достигается при минимальном значении отношения $r_{0}/R_{н}$. При включении по схеме на (рис. а) сопротивление $r_{0}=r/2$ минимально, a $R_{н} = 2R$ максимально, КПД при этом равен
$\eta = \frac{1}{1+ \frac{r}{4R}}=0,8$
Для ответа на второй вопрос надо вычислить мощности на нагрузке во всех четырех случаях. Используем формулу (1) и учтем, что по условию задачи $r = R$.
а) Источники тока соединены параллельно, сопротивления - последовательно. В этом случае
$\cal{E_{0}}=\cal{E},r_{0}=\frac{r}{2},R_{н}=2R,W_{а}=\frac{8}{25} \frac{\cal{E^{2}}}{R}$.
б) Источники и сопротивления соединены последовательно:
$\cal{E_{0}}=2 \cal{E},r_{0}=2r,R_{н}=2R,W_{б}=\frac{1}{2} \frac{\cal{E^{2}}}{R}$.
в) Источники и сопротивления соединены параллельно:
$\cal{E_{0}}=\cal{E},r_{0}=\frac{r}{2},R_{н}=\frac{R}{2},W_{в}=\frac{8}{25} \frac{\cal{E^{2}}}{R}$.
г) Источники соединены последовательно, сопротивления параллельно:
$\cal{E_{0}}=2 \cal{E},r_{0}=2r,R_{н}=\frac{R}{2},W_{г}=\frac{8}{25} \frac{\cal{E^{2}}}{R}$.
Итак,
$W_{б}=W_{в}>W_{a}=W_{г}$
т. е. мощность на нагрузке максимальна, когда включение произведено по схемам б или е.
Имеются два источника тока с ЭДС $\cal{E} = 1 В$ и внутренним сопротивлением $r = 1 Ом$ каждый и два одинаковых сопротивления нагрузки $R = 1 Ом$. Какую замкнутую цепь надо собрать из элементов, чтобы:
а) коэффициент полезного действия источника был максимален
б) количество теплоты, выделяющееся на нагрузке, было минимальным?
Решение:
При включении нагрузки с сопротивлением $R_{н}$, в цепь с ЭДС $\cal{E_{0}}$ и внутренним сопротивлением источника $r_{0}$ по цепи течет ток
$I=\frac{\cal{E_{0}}}{r_{0}+R_{н}}$
и мощность на нагрузке
$W_{н}=I^{2}R_{н}=\frac{\cal{E_{0}^{2}}R_{н}}{(r_{0}+R_{н})^{2}}$. (1)
Мощность источника тока
$W=I \cal{E}=\frac{\cal{E^{2}_{0}}}{r_{0}+R_{н}}$
Коэффициент полезного действия цепи
$\eta = \frac{W_{н}}{W}=\frac{R_{н}}{r_{0}+R_{н}}=\frac{1}{1+r_{0}/R_{н}}$. (2)
Источники тока и сопротивления нагрузки можно соединять последовательно или параллельно. При этом можно построить четыре различные схемы, изображенные на (рис. а-г).
Из формулы (2) видно, что максимальный КПД достигается при минимальном значении отношения $r_{0}/R_{н}$. При включении по схеме на (рис. а) сопротивление $r_{0}=r/2$ минимально, a $R_{н} = 2R$ максимально, КПД при этом равен
$\eta = \frac{1}{1+ \frac{r}{4R}}=0,8$
Для ответа на второй вопрос надо вычислить мощности на нагрузке во всех четырех случаях. Используем формулу (1) и учтем, что по условию задачи $r = R$.
а) Источники тока соединены параллельно, сопротивления - последовательно. В этом случае
$\cal{E_{0}}=\cal{E},r_{0}=\frac{r}{2},R_{н}=2R,W_{а}=\frac{8}{25} \frac{\cal{E^{2}}}{R}$.
б) Источники и сопротивления соединены последовательно:
$\cal{E_{0}}=2 \cal{E},r_{0}=2r,R_{н}=2R,W_{б}=\frac{1}{2} \frac{\cal{E^{2}}}{R}$.
в) Источники и сопротивления соединены параллельно:
$\cal{E_{0}}=\cal{E},r_{0}=\frac{r}{2},R_{н}=\frac{R}{2},W_{в}=\frac{8}{25} \frac{\cal{E^{2}}}{R}$.
г) Источники соединены последовательно, сопротивления параллельно:
$\cal{E_{0}}=2 \cal{E},r_{0}=2r,R_{н}=\frac{R}{2},W_{г}=\frac{8}{25} \frac{\cal{E^{2}}}{R}$.
Итак,
$W_{б}=W_{в}>W_{a}=W_{г}$
т. е. мощность на нагрузке максимальна, когда включение произведено по схемам б или е.
