Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2510
2017-03-25 
Электропаяльник мощности 20 Вт предназначен для подключения к переменному напряжению 36 В (действующее значение). Подключим его к сети 220 В последовательно с конденсатором. Найти необходимую емкость этого конденсатора.
Решение:
Нарисуем на диаграмме (рис.) вектор, изображающий ток через паяльник ($I = 20/36 = 0,56 А$). Сопротивление обмотки паяльника $36^{2}/20 = 65 Ом$. Тогда $(X_{C}^{2} + 65^{2})^{0,5} = V/I$. Отсюда находим емкостное сопротивление и емкость $c \approx 8 мкФ$ (можно посчитать и точнее, но и такой точности вполне достаточно, цепи переменного тока считают, как правило, для практических целей, а напряжение сети 220 В может изменяться в довольно широких пределах, точность плюс-минус 10% считается просто превосходной, часто случаются отклонения и куда большие. Все современные сложные приборы — компьютеры, телевизоры, измерительные приборы и другие, умеют хорошо работать и при плюс-минус 30 %, и даже более. Конденсаторы, как правило, выпускаются на определенные емкости, можно легко найти, например, 1 мкФ, 2 мкФ, 10 мкФ, а также 3,3 мкФ и 4,7 мкФ (вот такие конденсаторы!). Хорошо бы использовать один конденсатор, к примеру, 10 мкФ. Посмотрим, допустимо ли это. Можно посчитать мощность при таком выборе конденсатора — получается примерно 30 Вт. Это много для паяльника на 20 Вт, он будет сильно перегреваться. Можно соединить параллельно 3,3 и 4,7 мкФ — получится почти то, что надо. Можно выбрать из кучи конденсаторов 10 мкФ один, емкость которого примерно на 20 % ниже номинальной величины — но это может и не получиться. Во всяком случае, такой паяльник с конденсатором выпускался, продавался недорого, подходящий трансформатор стоил бы намного дороже конденсатора.
Кроме графического способа с векторными диаграммами, можно использовать красивый и удобный аналитический способ — практически полный аналог векторных диаграмм, «метод комплексных амплитуд». Для этого нужно использовать комплексные числа, позволяющие легко учитывать сдвиги фаз в цепи. Если индуктивное сопротивление записать в виде $X_{L} = i \omega_{0} L$ (тут $i$ — «мнимая единица»), то при нахождении тока $I = \frac{V}{X_{L}}$ нужный сдвиг фаз получится автоматически (при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются, при делении модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются. У записанного в виде $i \omega_{0} L$ числа модуль равен $\omega_{0} L$, а аргумент $\frac{ \pi}{2}$. Емкостное сопротивление нужно записать в виде $X_{C} = \frac{1}{i \omega_{0} C}$. Сопротивление обычного резистора $R$, тут сдвига фаз нет. С такими комплексными сопротивлениями можно работать, как с обычными комплексными числами — все известные способы расчета цепей постоянного тока можно использовать без особых проблем. Например, последовательный $LCR$ контур имеет полное комплексное сопротивление $Z = i \omega_{0} L + \frac{1}{i \omega_{0}R} + R$, легко можно найти модуль этого числа $mod Z = \sqrt{ \left ( \omega_{0} L - \frac{1}{ \omega_{0} C} \right )^{2} + R^{2}}$ и аргумент $arg Z = arctg \left ( \frac{ \omega_{0} L - \frac{1}{ \omega_{0}C}}{R} \right )$. При делении напряжения на такое комплексное сопротивление сразу можно найти и амплитуду тока, и сдвиг фаз. Часто и делить не надо — достаточно посмотреть на выражение для комплексного сопротивления цепи (эту величину часто называют «импеданс»), чтобы увидеть значения модуля и аргумента этой величины.
Электропаяльник мощности 20 Вт предназначен для подключения к переменному напряжению 36 В (действующее значение). Подключим его к сети 220 В последовательно с конденсатором. Найти необходимую емкость этого конденсатора.
Решение:
Нарисуем на диаграмме (рис.) вектор, изображающий ток через паяльник ($I = 20/36 = 0,56 А$). Сопротивление обмотки паяльника $36^{2}/20 = 65 Ом$. Тогда $(X_{C}^{2} + 65^{2})^{0,5} = V/I$. Отсюда находим емкостное сопротивление и емкость $c \approx 8 мкФ$ (можно посчитать и точнее, но и такой точности вполне достаточно, цепи переменного тока считают, как правило, для практических целей, а напряжение сети 220 В может изменяться в довольно широких пределах, точность плюс-минус 10% считается просто превосходной, часто случаются отклонения и куда большие. Все современные сложные приборы — компьютеры, телевизоры, измерительные приборы и другие, умеют хорошо работать и при плюс-минус 30 %, и даже более. Конденсаторы, как правило, выпускаются на определенные емкости, можно легко найти, например, 1 мкФ, 2 мкФ, 10 мкФ, а также 3,3 мкФ и 4,7 мкФ (вот такие конденсаторы!). Хорошо бы использовать один конденсатор, к примеру, 10 мкФ. Посмотрим, допустимо ли это. Можно посчитать мощность при таком выборе конденсатора — получается примерно 30 Вт. Это много для паяльника на 20 Вт, он будет сильно перегреваться. Можно соединить параллельно 3,3 и 4,7 мкФ — получится почти то, что надо. Можно выбрать из кучи конденсаторов 10 мкФ один, емкость которого примерно на 20 % ниже номинальной величины — но это может и не получиться. Во всяком случае, такой паяльник с конденсатором выпускался, продавался недорого, подходящий трансформатор стоил бы намного дороже конденсатора.
Кроме графического способа с векторными диаграммами, можно использовать красивый и удобный аналитический способ — практически полный аналог векторных диаграмм, «метод комплексных амплитуд». Для этого нужно использовать комплексные числа, позволяющие легко учитывать сдвиги фаз в цепи. Если индуктивное сопротивление записать в виде $X_{L} = i \omega_{0} L$ (тут $i$ — «мнимая единица»), то при нахождении тока $I = \frac{V}{X_{L}}$ нужный сдвиг фаз получится автоматически (при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются, при делении модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются. У записанного в виде $i \omega_{0} L$ числа модуль равен $\omega_{0} L$, а аргумент $\frac{ \pi}{2}$. Емкостное сопротивление нужно записать в виде $X_{C} = \frac{1}{i \omega_{0} C}$. Сопротивление обычного резистора $R$, тут сдвига фаз нет. С такими комплексными сопротивлениями можно работать, как с обычными комплексными числами — все известные способы расчета цепей постоянного тока можно использовать без особых проблем. Например, последовательный $LCR$ контур имеет полное комплексное сопротивление $Z = i \omega_{0} L + \frac{1}{i \omega_{0}R} + R$, легко можно найти модуль этого числа $mod Z = \sqrt{ \left ( \omega_{0} L - \frac{1}{ \omega_{0} C} \right )^{2} + R^{2}}$ и аргумент $arg Z = arctg \left ( \frac{ \omega_{0} L - \frac{1}{ \omega_{0}C}}{R} \right )$. При делении напряжения на такое комплексное сопротивление сразу можно найти и амплитуду тока, и сдвиг фаз. Часто и делить не надо — достаточно посмотреть на выражение для комплексного сопротивления цепи (эту величину часто называют «импеданс»), чтобы увидеть значения модуля и аргумента этой величины.
