Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2509
2017-03-25 
Конденсатор емкости $C$ включен последовательно с резистором $R$ (рис.). По цепи протекает ток
$I(t) = I_{0} \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0})$.
Найти напряжение между выводами этой цепочки.
Решение:
рис.1
рис.2
Напряжение на резисторе
$V_{R} = R I(t) = RI_{0} \cos ( \omega_{0} t + \phi_{0})$.
Напряжение на конденсаторе
$V_{C} = X_{C} I_{0} \cos ( \omega_{0} t + \phi_{0} - \pi /2)$
— ток опережает, значит, напряжение отстает. Сумма напряжений
$V(t) = V_{R} + V_{C} = I_{0} (R \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0}) + X_{C} \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0} - \pi /2) = I_{0}R ( \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0}) + (X_{C}/R) \sin ( \omega_{0}t + \phi_{0})) = I_{0}R ( \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0}) + tg \phi \sin ( \omega_{0}t + \phi_{0})) = (I_{0}R/ \cos \phi) ( \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0}) \times \cos \phi + \sin \phi \sin ( \omega_{0}t + \phi_{0})) = (I_{0}R/ \cos \phi) ( \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0} - \phi))$.
Учитывая, что $tg \phi = X_{C}/R$,
$\cos \phi = \frac{1}{ \sqrt{1 + tg^{2} \phi}} = \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ \omega^{2} C^{2}R^{2}}}}$.
Все довольно просто, только громоздко — и это для совсем простой задачи! Разумеется, есть и куда более простой метод расчета таких цепей — метод векторных диаграмм. Метод графический, основан на простой аналогии: если вектор А вращается вокруг начала координат с угловой скоростью $\omega_{0}$, его проекция на ось X будет такой: $X(t) = A \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0})$, кай раз такая функция нам и нужна. Будем изображать гармонические напряжения и токи в виде вращающихся векторов — учитывая различные (в том числе, и по размерности) амплитуды и сдвиги фаз. Ясно — чему соответствует, например, сумма векторов, изображающих напряжения конденсатора и резистора в предыдущей задаче. Можно рисовать разными цветами векторы, изображающие напряжения и токи в цепи, можно рисовать две отдельные картинки для напряжений и токов — на практике рисуют все на одной картинке, но стараются не перепутать между собой (помогают надписи!) напряжения и токи. Картинка для задачи 1 приведена на рис.
Даже такая картинка позволяет уверенно написать все нужные формулы, без особенно нудной тригонометрии. Но для численных расчетов метод векторных диаграмм намного практичнее. Нарисуем картинку для $R = 500 Ом, C = 10 мкФ, \omega_{0} = 314 с^{-1}, I_{0} = 0,1 А$: найдем вначале $X_{C} = \frac{1}{314 \cdot 1 \cdot 10^{-5}} = 318 Ом$. Векторы, изображающие напряжение конденсатора и напряжение резистора, нарисуем в одинаковых масштабах (рис. 2).
Вектор, изображающий суммарное напряжение получается в том же масштабе, его величина находится при помощи пропорции: напряжение резистора 50 В, оно изображено в виде вектора длины 5 клеток — одна клетка соответствует напряжению 10 В. Напряжение конденсатора 31,8 В можно довольно точно изобразить, если взять лист миллиметровой бумаги. Угол сдвига фаз $\phi$ между суммарным напряжением и током цепи (или — напряжением резистора, у него нет сдвига фаз ток-напряжение) находится прямо из рисунка (можно измерить его транспортиром, раньше — до изобретения калькулятора — так и делали). И еще — если токи изображать амплитудными значениями, то напряжения также получаются амплитудными. Но часто рисуют такую же картинку, изображая действующие (эффективные) значения напряжений и токов. Так делать можно — важно на одной картинке «не смешивать» амплитудные и эффективные значения. Кстати, значения «с чертежа» получились довольно близкими к вычисленным: $32,5^{ \circ}$ и 59,3 В.
Конденсатор емкости $C$ включен последовательно с резистором $R$ (рис.). По цепи протекает ток
$I(t) = I_{0} \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0})$.
Найти напряжение между выводами этой цепочки.
Решение:
рис.1
рис.2
Напряжение на резисторе
$V_{R} = R I(t) = RI_{0} \cos ( \omega_{0} t + \phi_{0})$.
Напряжение на конденсаторе
$V_{C} = X_{C} I_{0} \cos ( \omega_{0} t + \phi_{0} - \pi /2)$
— ток опережает, значит, напряжение отстает. Сумма напряжений
$V(t) = V_{R} + V_{C} = I_{0} (R \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0}) + X_{C} \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0} - \pi /2) = I_{0}R ( \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0}) + (X_{C}/R) \sin ( \omega_{0}t + \phi_{0})) = I_{0}R ( \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0}) + tg \phi \sin ( \omega_{0}t + \phi_{0})) = (I_{0}R/ \cos \phi) ( \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0}) \times \cos \phi + \sin \phi \sin ( \omega_{0}t + \phi_{0})) = (I_{0}R/ \cos \phi) ( \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0} - \phi))$.
Учитывая, что $tg \phi = X_{C}/R$,
$\cos \phi = \frac{1}{ \sqrt{1 + tg^{2} \phi}} = \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ \omega^{2} C^{2}R^{2}}}}$.
Все довольно просто, только громоздко — и это для совсем простой задачи! Разумеется, есть и куда более простой метод расчета таких цепей — метод векторных диаграмм. Метод графический, основан на простой аналогии: если вектор А вращается вокруг начала координат с угловой скоростью $\omega_{0}$, его проекция на ось X будет такой: $X(t) = A \cos ( \omega_{0}t + \phi_{0})$, кай раз такая функция нам и нужна. Будем изображать гармонические напряжения и токи в виде вращающихся векторов — учитывая различные (в том числе, и по размерности) амплитуды и сдвиги фаз. Ясно — чему соответствует, например, сумма векторов, изображающих напряжения конденсатора и резистора в предыдущей задаче. Можно рисовать разными цветами векторы, изображающие напряжения и токи в цепи, можно рисовать две отдельные картинки для напряжений и токов — на практике рисуют все на одной картинке, но стараются не перепутать между собой (помогают надписи!) напряжения и токи. Картинка для задачи 1 приведена на рис.
Даже такая картинка позволяет уверенно написать все нужные формулы, без особенно нудной тригонометрии. Но для численных расчетов метод векторных диаграмм намного практичнее. Нарисуем картинку для $R = 500 Ом, C = 10 мкФ, \omega_{0} = 314 с^{-1}, I_{0} = 0,1 А$: найдем вначале $X_{C} = \frac{1}{314 \cdot 1 \cdot 10^{-5}} = 318 Ом$. Векторы, изображающие напряжение конденсатора и напряжение резистора, нарисуем в одинаковых масштабах (рис. 2).
Вектор, изображающий суммарное напряжение получается в том же масштабе, его величина находится при помощи пропорции: напряжение резистора 50 В, оно изображено в виде вектора длины 5 клеток — одна клетка соответствует напряжению 10 В. Напряжение конденсатора 31,8 В можно довольно точно изобразить, если взять лист миллиметровой бумаги. Угол сдвига фаз $\phi$ между суммарным напряжением и током цепи (или — напряжением резистора, у него нет сдвига фаз ток-напряжение) находится прямо из рисунка (можно измерить его транспортиром, раньше — до изобретения калькулятора — так и делали). И еще — если токи изображать амплитудными значениями, то напряжения также получаются амплитудными. Но часто рисуют такую же картинку, изображая действующие (эффективные) значения напряжений и токов. Так делать можно — важно на одной картинке «не смешивать» амплитудные и эффективные значения. Кстати, значения «с чертежа» получились довольно близкими к вычисленным: $32,5^{ \circ}$ и 59,3 В.
