Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2506
2017-03-25 
Длинный цилиндрический соленоид диаметра $d$ создает внутри себя однородное магнитное поле с индукцией $B_{0}$. На расстоянии $L = 5d$ от оси соленоида находится массивная заряженная частица массы $M$ с зарядом $Q$. Ток через соленоид отключают, при этом поле быстро уменьшается до нуля. С какой скоростью будет двигаться частица после отключения поля?
Решение:
Во время выключения (точнее — при изменении магнитного поля) возникнет электрическое поле, оно будет действовать на заряженную частицу (напомним, что по условию задачи эта частица вначале неподвижна, магнитное поле на нее непосредственно не действует). Будем считать, что время уменьшения тока настолько мало, что частица за это время не успеет заметно сдвинуться с места (скорость набрать сумеет, а заметно сдвинуться не сумеет — тут нет никакого противоречия, из дальнейшего решения можно видеть, что набранная скорость при уменьшении времени выключения практически не меняется, а величина сдвига уменьшением интервала времени может быть сделана сколь угодно малой). Проведем через точку, в которой находится в начальный момент частица, плоскость, перпендикулярную оси соленоида, а в этой плоскости проходящую через эту точку окружность, центр которой лежит на оси соленоида. При изменении магнитного поля соленоида от начального значения до нуля поток через эту окружность меняется на $\Delta \Phi = \frac{B_{0} \pi d^{2}}{4}$ (магнитное поле снаружи от длинного соленоида мы считаем пренебрежимо малым). Тогда э.д.с. индукции в контуре радиуса $L = 5d$ (как и в любом контуре, «охватывающем» соленоид одним витком) будет равна $\mathcal{E} = - \frac{ \Delta \Phi}{ \tau} = \frac{B_{0} \pi d^{2}}{4 \tau}$ и напряженность электрического поля («создающего». эту э. д. с.) будет получится $E = \frac{ \mathcal{E}}{2 \pi 5d} = \frac{B_{0} \pi d^{2}}{4 \tau 2 \pi 5d} = \frac0{B_{0}d}{40 \tau}$. Тогда сила $F = QE = \frac{QB_{0}d}{40 \tau}$ и набранная скорость $V = \frac{F \tau}{M} = \frac{QB_{0}d}{40M}$. Мы посчитали случаи линейного изменения поля со временем, но можно разбить малый интервал времени г на множество совсем уж маленьких интервальчиков, на каждом из которых считать закон изменения магнитного поля линейным, а действующую на заряд силу постоянной, а потом суммировать изменения импульса частицы.
Длинный цилиндрический соленоид диаметра $d$ создает внутри себя однородное магнитное поле с индукцией $B_{0}$. На расстоянии $L = 5d$ от оси соленоида находится массивная заряженная частица массы $M$ с зарядом $Q$. Ток через соленоид отключают, при этом поле быстро уменьшается до нуля. С какой скоростью будет двигаться частица после отключения поля?
Решение:
Во время выключения (точнее — при изменении магнитного поля) возникнет электрическое поле, оно будет действовать на заряженную частицу (напомним, что по условию задачи эта частица вначале неподвижна, магнитное поле на нее непосредственно не действует). Будем считать, что время уменьшения тока настолько мало, что частица за это время не успеет заметно сдвинуться с места (скорость набрать сумеет, а заметно сдвинуться не сумеет — тут нет никакого противоречия, из дальнейшего решения можно видеть, что набранная скорость при уменьшении времени выключения практически не меняется, а величина сдвига уменьшением интервала времени может быть сделана сколь угодно малой). Проведем через точку, в которой находится в начальный момент частица, плоскость, перпендикулярную оси соленоида, а в этой плоскости проходящую через эту точку окружность, центр которой лежит на оси соленоида. При изменении магнитного поля соленоида от начального значения до нуля поток через эту окружность меняется на $\Delta \Phi = \frac{B_{0} \pi d^{2}}{4}$ (магнитное поле снаружи от длинного соленоида мы считаем пренебрежимо малым). Тогда э.д.с. индукции в контуре радиуса $L = 5d$ (как и в любом контуре, «охватывающем» соленоид одним витком) будет равна $\mathcal{E} = - \frac{ \Delta \Phi}{ \tau} = \frac{B_{0} \pi d^{2}}{4 \tau}$ и напряженность электрического поля («создающего». эту э. д. с.) будет получится $E = \frac{ \mathcal{E}}{2 \pi 5d} = \frac{B_{0} \pi d^{2}}{4 \tau 2 \pi 5d} = \frac0{B_{0}d}{40 \tau}$. Тогда сила $F = QE = \frac{QB_{0}d}{40 \tau}$ и набранная скорость $V = \frac{F \tau}{M} = \frac{QB_{0}d}{40M}$. Мы посчитали случаи линейного изменения поля со временем, но можно разбить малый интервал времени г на множество совсем уж маленьких интервальчиков, на каждом из которых считать закон изменения магнитного поля линейным, а действующую на заряд силу постоянной, а потом суммировать изменения импульса частицы.
