Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2505
2017-03-25 
Электрическая цепь содержит всего 40 резисторов, сопротивления резисторов первого «звена» равны 1 Ом, второго — по 10 Ом, третьего — по 100 Ом и так далее — до 20 звена (рис.). Найти сопротивление цепи между точками А и Б.
Решение:
Из условия задачи видно, что сопротивления звеньев быстро возрастают, для приближенного вычисления можно отбросить «удаленные» звенья — ответ почти не изменится. Для примера отбросим все звенья, кроме первого — в этом случае сопротивление составит $R_{1} = 2 Ом$. Теперь оставим два звена — получится простая последовательно-параллельная схема, которую можно рассчитать обычными способами:
$R_{2} = 1 + 1 \cdot 20/(1 + 20) = 1,952 Ом$.
Для трех звеньев получится $R_{3} = 1,951 Ом$, т. е. почти тот же результат. Можно этим и ограничиться, можно посчитать еще несколько значений — ответ изменится совсем немного. Однако в этой задаче можно применить и другой способ расчета. Вместо того, чтобы отбрасывать лишние звенья, дополним эту цепь справа очень большим числом звеньев, сделаем эту цепочку бесконечной. Ясно, что изменения справа от звена номер 20 (а именно столько звеньев было в исходной цепи) изменят измеряемое сопротивление совсем мало, поэтому результат такого расчета будет очень точным. Обозначим искомое сопротивление $Z$, и попробуем его найти следующим образом: отбросим первое звено 1 Ом — 1 Ом, у нас получится цепь (тоже бесконечной длины!), все резисторы которой больше исходных ровно в 10 раз, значит — сопротивление этой цепи составляет $10Z$. Тогда вернем на место первое звено, а всю остальную цепочку заменим резистором $10 Z$. Теперь можно записать: $Z = 1 + 1 \cdot 10Z/(1 + 10Z)$, или $10Z^{2} - 19Z - 1 = 0$. Получилось уравнение для определения неизвестной величины $Z$. Отсюда: $Z = (19 + \sqrt{401})/20 = 1,951 Ом$. Мы видим, что «почти точное» решение дает практически тот же ответ.
Электрическая цепь содержит всего 40 резисторов, сопротивления резисторов первого «звена» равны 1 Ом, второго — по 10 Ом, третьего — по 100 Ом и так далее — до 20 звена (рис.). Найти сопротивление цепи между точками А и Б.
Решение:
Из условия задачи видно, что сопротивления звеньев быстро возрастают, для приближенного вычисления можно отбросить «удаленные» звенья — ответ почти не изменится. Для примера отбросим все звенья, кроме первого — в этом случае сопротивление составит $R_{1} = 2 Ом$. Теперь оставим два звена — получится простая последовательно-параллельная схема, которую можно рассчитать обычными способами:
$R_{2} = 1 + 1 \cdot 20/(1 + 20) = 1,952 Ом$.
Для трех звеньев получится $R_{3} = 1,951 Ом$, т. е. почти тот же результат. Можно этим и ограничиться, можно посчитать еще несколько значений — ответ изменится совсем немного. Однако в этой задаче можно применить и другой способ расчета. Вместо того, чтобы отбрасывать лишние звенья, дополним эту цепь справа очень большим числом звеньев, сделаем эту цепочку бесконечной. Ясно, что изменения справа от звена номер 20 (а именно столько звеньев было в исходной цепи) изменят измеряемое сопротивление совсем мало, поэтому результат такого расчета будет очень точным. Обозначим искомое сопротивление $Z$, и попробуем его найти следующим образом: отбросим первое звено 1 Ом — 1 Ом, у нас получится цепь (тоже бесконечной длины!), все резисторы которой больше исходных ровно в 10 раз, значит — сопротивление этой цепи составляет $10Z$. Тогда вернем на место первое звено, а всю остальную цепочку заменим резистором $10 Z$. Теперь можно записать: $Z = 1 + 1 \cdot 10Z/(1 + 10Z)$, или $10Z^{2} - 19Z - 1 = 0$. Получилось уравнение для определения неизвестной величины $Z$. Отсюда: $Z = (19 + \sqrt{401})/20 = 1,951 Ом$. Мы видим, что «почти точное» решение дает практически тот же ответ.
