Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2497
2017-03-25 
В кубическом сосуде объема $V=1 л$ находится некоторое количество гелия при температуре $T=300 К$. Оценить давление газа, при котором число ударов молекул друг о друга за некоторый отрезок времени равно числу ударов молекул о стенки сосуда.
Решение:
Для оценки числа ударов молекул друг о друга запишем известное выражение для длины свободного пробега молекул — среднего расстояния, пробегаемого молекулой между последовательными ударами, выразив его через величину диаметра молекулы $d$ и концентрацию $n : \lambda = \frac{1}{ \pi \cdot d^{2} \cdot n}$ . Время пролета этого расстояния равно $\frac{ \lambda}{v}$, тогда за большой интервал времени молекула совершит $\frac{v \cdot \tau}{ \lambda}$ ударов о другие молекулы. Если число молекул в сосуде $N$, то для нахождения полного числа ударов молекул друг о друга нужно умножить число ударов одной молекулы о другие на число молекул, деленное на два — чтобы не учитывать удары дважды. Итак, полное число ударов молекул друг о друга за выбранный интервал времени $\frac{0,5 \cdot N \cdot v \cdot \tau}{ \lambda} = 0,5 \cdot N \cdot v \cdot \tau \cdot \pi \cdot d^{2} \cdot n$.
Число ударов молекул о стенки сосуда можно найти обычным путем — это часть стандартного рассуждения при расчете давления газа на стенку сосуда. Обозначив величину компоненты скорости молекул вдоль одной выбранной оси $v_{x}$, длину ребра стенки сосуда $a$, получим для числа ударов о все 6 стенок куба за большой интервал времени $\tau: 6 \tau \cdot v_{x} \cdot \cdot N/(2a)$. Приравнивая полученные выражения и учитывая, что значение компоненты скорости $v_{x}$ можно грубо оценить по энергии молекулы $v_{x} = v/ \sqrt{3}$, получим выражение для концентрации молекул:
$0,5 \cdot N \cdot v \cdot \tau \cdot \pi d^{2} \cdot n = \frac{6 \tau \cdot v_{x} \cdot N}{2a}$;
$n = \frac{6}{0,5 \cdot \pi \cdot d^{2} \cdot a} \approx 5 \cdot 10^{20} 1/м^{3}$.
Значение диаметра молекулы гелия мы взяли из справочника: $d = 2 \cdot 10^{-10} м$. Полученная концентрация соответствует величине давления в сосуде $P = n \cdot k \cdot T = 2 Па$. Это очень маленькое давление — в обычных условиях число ударов молекул друг о друга во много раз превышает число ударов молекул о стенки сосуда.
В кубическом сосуде объема $V=1 л$ находится некоторое количество гелия при температуре $T=300 К$. Оценить давление газа, при котором число ударов молекул друг о друга за некоторый отрезок времени равно числу ударов молекул о стенки сосуда.
Решение:
Для оценки числа ударов молекул друг о друга запишем известное выражение для длины свободного пробега молекул — среднего расстояния, пробегаемого молекулой между последовательными ударами, выразив его через величину диаметра молекулы $d$ и концентрацию $n : \lambda = \frac{1}{ \pi \cdot d^{2} \cdot n}$ . Время пролета этого расстояния равно $\frac{ \lambda}{v}$, тогда за большой интервал времени молекула совершит $\frac{v \cdot \tau}{ \lambda}$ ударов о другие молекулы. Если число молекул в сосуде $N$, то для нахождения полного числа ударов молекул друг о друга нужно умножить число ударов одной молекулы о другие на число молекул, деленное на два — чтобы не учитывать удары дважды. Итак, полное число ударов молекул друг о друга за выбранный интервал времени $\frac{0,5 \cdot N \cdot v \cdot \tau}{ \lambda} = 0,5 \cdot N \cdot v \cdot \tau \cdot \pi \cdot d^{2} \cdot n$.
Число ударов молекул о стенки сосуда можно найти обычным путем — это часть стандартного рассуждения при расчете давления газа на стенку сосуда. Обозначив величину компоненты скорости молекул вдоль одной выбранной оси $v_{x}$, длину ребра стенки сосуда $a$, получим для числа ударов о все 6 стенок куба за большой интервал времени $\tau: 6 \tau \cdot v_{x} \cdot \cdot N/(2a)$. Приравнивая полученные выражения и учитывая, что значение компоненты скорости $v_{x}$ можно грубо оценить по энергии молекулы $v_{x} = v/ \sqrt{3}$, получим выражение для концентрации молекул:
$0,5 \cdot N \cdot v \cdot \tau \cdot \pi d^{2} \cdot n = \frac{6 \tau \cdot v_{x} \cdot N}{2a}$;
$n = \frac{6}{0,5 \cdot \pi \cdot d^{2} \cdot a} \approx 5 \cdot 10^{20} 1/м^{3}$.
Значение диаметра молекулы гелия мы взяли из справочника: $d = 2 \cdot 10^{-10} м$. Полученная концентрация соответствует величине давления в сосуде $P = n \cdot k \cdot T = 2 Па$. Это очень маленькое давление — в обычных условиях число ударов молекул друг о друга во много раз превышает число ударов молекул о стенки сосуда.
