Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2484
2017-03-24 
Металлический поршень помещен в трубу из диэлектрика, площадь сечения которой — $S$. По обе стороны от поршня труба перекрыта металлическими пластинами А и В, соединенными проводником. Труба заполнена газом; вначале давление по обе стороны поршня $P_{0}$, а расстояния между поршнем и пластинами равны $d$.
Поршню сообщают электрический заряд $q$, а обеим металлическим пластинам вместе — противоположный заряд ($- q$), так что суммарный заряд системы нулевой. Найдите все положения равновесия поршня. Трением пренебречь, температура постоянна. Расстояние $d$ мало по сравнению с размерами пластин.
Решение:
Имеем два параллельно включенных конденсатора. При сдвиге поршня на $x$ заряд перераспределяется между его сторонами, сумма $q_{1} + q_{2} = q$, а напряжения равны $\frac{q_{1}}{C_{1}} = \frac{q_{2}}{C_{2}}, C_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S}{d -x}, C_{2} = \frac{ \epsilon_{0}S}{d + x} \Rightarrow q_{1}(d-x) = q_{2} (d+x)$, откуда $q_{1} = q \frac{(d+x)}{2d}$. Поля $E_{1} = \frac{q_{1}}{C_{1}(d-x)} = \frac{q_{1}}{ \epsilon_{0}S}$. Поршень находится в поле внешних пластин $(E_{1} - E_{2})/2$, действует электрическая сила $q \frac{E_{1} - E_{2}}{2} = \frac{q^{2}x}{2 \epsilon_{0} Sd}$, направленная к ближайшей крышке. Разность давлений
$P_{1} = P_{0} \frac{d}{d-x}, P_{2} = P_{0} \frac{d}{d+x}, \Delta P = \frac{2P_{0}dx}{d^{2} - x^{2}}$.
Условие равновесия
$\frac{2P_{0}dS}{d^{2} - x^{2}} x = \frac{q^{2}}{2 \epsilon_{0} Sd} x$.
Три решения
$x = 0, x = \pm d \sqrt{ 1 - \frac{4 \epsilon_{0} P_{0} S^{2}}{q^{2}}}$.
Последние два решения имеют смысл, когда под корнем положительное число (заряд достаточно велик), тогда первое решение (отсутствие сдвига) неустойчиво. Если же заряд мал, остается только решение $x = 0$. Заряд не обязательно компенсировать: поле снаружи системы не существенно.
Металлический поршень помещен в трубу из диэлектрика, площадь сечения которой — $S$. По обе стороны от поршня труба перекрыта металлическими пластинами А и В, соединенными проводником. Труба заполнена газом; вначале давление по обе стороны поршня $P_{0}$, а расстояния между поршнем и пластинами равны $d$.
Поршню сообщают электрический заряд $q$, а обеим металлическим пластинам вместе — противоположный заряд ($- q$), так что суммарный заряд системы нулевой. Найдите все положения равновесия поршня. Трением пренебречь, температура постоянна. Расстояние $d$ мало по сравнению с размерами пластин.
Решение:
Имеем два параллельно включенных конденсатора. При сдвиге поршня на $x$ заряд перераспределяется между его сторонами, сумма $q_{1} + q_{2} = q$, а напряжения равны $\frac{q_{1}}{C_{1}} = \frac{q_{2}}{C_{2}}, C_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S}{d -x}, C_{2} = \frac{ \epsilon_{0}S}{d + x} \Rightarrow q_{1}(d-x) = q_{2} (d+x)$, откуда $q_{1} = q \frac{(d+x)}{2d}$. Поля $E_{1} = \frac{q_{1}}{C_{1}(d-x)} = \frac{q_{1}}{ \epsilon_{0}S}$. Поршень находится в поле внешних пластин $(E_{1} - E_{2})/2$, действует электрическая сила $q \frac{E_{1} - E_{2}}{2} = \frac{q^{2}x}{2 \epsilon_{0} Sd}$, направленная к ближайшей крышке. Разность давлений
$P_{1} = P_{0} \frac{d}{d-x}, P_{2} = P_{0} \frac{d}{d+x}, \Delta P = \frac{2P_{0}dx}{d^{2} - x^{2}}$.
Условие равновесия
$\frac{2P_{0}dS}{d^{2} - x^{2}} x = \frac{q^{2}}{2 \epsilon_{0} Sd} x$.
Три решения
$x = 0, x = \pm d \sqrt{ 1 - \frac{4 \epsilon_{0} P_{0} S^{2}}{q^{2}}}$.
Последние два решения имеют смысл, когда под корнем положительное число (заряд достаточно велик), тогда первое решение (отсутствие сдвига) неустойчиво. Если же заряд мал, остается только решение $x = 0$. Заряд не обязательно компенсировать: поле снаружи системы не существенно.
