Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 248
2014-05-31 
Имеется бесконечная последовательность изолированных концентрических полусфер, радиусы которых связаны соотношением $R_{i}=2R_{i-1}$. Радиус самой маленькой полусферы $R_{1}$. На каждую полусферу помешают заряд $Q$, а на расстоянии $r$ от центра полусферы помешают заряд $q$. Найдите потенциал в центре полусфер, если потенциал на бесконечности равен нулю.
Решение:
Согласно принципу суперпозиции, потенциал $\phi$ и искомой точке представляется суммой потенциалов $\phi_{i}$, создаваемые зарядами $Q$ полусфер, и потенциала $\phi_{0}$ создаваемого точечным зарядом $q (\phi_{0}=q/r)$. По тому же принципу, потенциал, создаваемым протяженным заряженным телом, представляется суммой потенциалов, создаваемых зарядом каждой точки тела. Так как у полусферы все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра, то, независимо от того, как распределен заряд $Q$ по поверхности данной полусферы, $\phi_{i}=Q/R_{i}$. Нетрудно сообразить, что $R_{i}=2^{i-1}R_{1}$. С учетом этого получаем
$\phi=\frac{q}{r}+Q \sum^{\infty}_{i=1}\frac{1}{R_{i}}=\frac{q}{r}+\frac{2Q}{R_{1}}$,
где проведено суммирование бесконечной геометрической прогрессии
$\sum^{\infty}_{i=1} \frac{1}{2^{i-1}}=2$.
Имеется бесконечная последовательность изолированных концентрических полусфер, радиусы которых связаны соотношением $R_{i}=2R_{i-1}$. Радиус самой маленькой полусферы $R_{1}$. На каждую полусферу помешают заряд $Q$, а на расстоянии $r$ от центра полусферы помешают заряд $q$. Найдите потенциал в центре полусфер, если потенциал на бесконечности равен нулю.
Решение:
Согласно принципу суперпозиции, потенциал $\phi$ и искомой точке представляется суммой потенциалов $\phi_{i}$, создаваемые зарядами $Q$ полусфер, и потенциала $\phi_{0}$ создаваемого точечным зарядом $q (\phi_{0}=q/r)$. По тому же принципу, потенциал, создаваемым протяженным заряженным телом, представляется суммой потенциалов, создаваемых зарядом каждой точки тела. Так как у полусферы все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра, то, независимо от того, как распределен заряд $Q$ по поверхности данной полусферы, $\phi_{i}=Q/R_{i}$. Нетрудно сообразить, что $R_{i}=2^{i-1}R_{1}$. С учетом этого получаем
$\phi=\frac{q}{r}+Q \sum^{\infty}_{i=1}\frac{1}{R_{i}}=\frac{q}{r}+\frac{2Q}{R_{1}}$,
где проведено суммирование бесконечной геометрической прогрессии
$\sum^{\infty}_{i=1} \frac{1}{2^{i-1}}=2$.
