Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2479
2017-03-24 
Оценить относительные изменения периодов колебаний маятников $((T - T_{0})/T_{0})$, находящихся в поездах, идущих вдоль экватора с запада на восток и с востока на запад по отношению к периоду колебаний маятника $T_{0}$ в стоящем поезде.
Предполагается, что Вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие и необходимые для решения задачи величины, выбрать их числовые значения и получить численный результат.
Решение:
Период колебаний маятника определяется натяжением нити (стержня), т. е. весом тела. В связи с вращением Земли вокруг оси и движением поезда вес тела $P$ отличается от $mg$.
В инерциальной системе отсчета стороннего наблюдателя скорость поезда складывается из линейной скорости вращения Земли $\omega R$ и скорости поезда относительно Земли $V$. Обозначим как $P_{+}$ вес тела при движении поезда с запада на восток, а $P_{-}$ — вес при движении с востока на запад.
Второй закон Ньютона для подвешенного груза (математического маятника) в инерциальной системе отсчета стороннего наблюдателя запишется как
$P_{ \pm} = mg - \frac{m( \omega R \pm V)^{2}}{R} = mg - m \omega^{2} R \mp m2 \omega V - m \frac{V^{2}}{R}$. (1)
В стоящем поезде $P_{0} = mg - m \omega^{2} R$.
Удвоенная линейная скорость вращения Земли на экваторе $2 \omega R \approx 4 \pi \frac{6400}{3600 \cdot 24} \approx 1 \frac{км}{с}$ что в 30 раз превышает скорость скорого поезда $V$. Поэтому в уравнении (1) можно пренебречь членом $m \frac{V^{2}}{R}$ по сравнению с $m 2 \omega V$.
Периоды колебаний маятника для различных случаев:
$T_{ \pm} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g - \omega^{2} R \mp 2 \omega V}}, T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g - \omega^{2} R}}$. (2)
Несложно проверить, что относительное изменение периода колебаний будет мало. Поэтому $\frac{T_{ \pm} - T_{0}}{T_{0}} \approx \frac{T_{ \pm} - T_{0}}{T_{ \pm}} = 1 - \frac{T_{0}}{T_{ \pm}}$ (в знаменателе для удобства $T_{0}$ заменили $T_{ \pm}$).
Из (2) получаем
$\left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} \right )^{2} = 1 \mp \frac{2 \omega V}{g - \omega^{2} R} \approx 1 \mp \frac{2 \omega V}{g}$. (3)
В силу малости члена $\omega^{2} R$ по сравнению с $g$ его отбросили в (3). Далее из (3)
$\left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} \right )^{2} - 1 = \left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} - 1 \right ) \left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} + 1 \right ) \approx \left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} -1 \right ) \approx \mp \frac{2 \omega V}{g}$. (4)
Из-за малого различия периодов колебаний в (4) приближенно положили $\left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} \right ) + 1 \approx 2$.
Пусть скорость поезда — $30 м/с, g \approx 10 м/с^{2}$.
Тогда из (4) $1 - \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} \approx \pm \frac{ \omega V}{g} \approx \pm \frac{2 \pi \cdot 30}{3600 \cdot 24 \cdot 10} \approx \pm 5 \cdot 10^{-4}$.
Оценить относительные изменения периодов колебаний маятников $((T - T_{0})/T_{0})$, находящихся в поездах, идущих вдоль экватора с запада на восток и с востока на запад по отношению к периоду колебаний маятника $T_{0}$ в стоящем поезде.
Предполагается, что Вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие и необходимые для решения задачи величины, выбрать их числовые значения и получить численный результат.
Решение:
Период колебаний маятника определяется натяжением нити (стержня), т. е. весом тела. В связи с вращением Земли вокруг оси и движением поезда вес тела $P$ отличается от $mg$.
В инерциальной системе отсчета стороннего наблюдателя скорость поезда складывается из линейной скорости вращения Земли $\omega R$ и скорости поезда относительно Земли $V$. Обозначим как $P_{+}$ вес тела при движении поезда с запада на восток, а $P_{-}$ — вес при движении с востока на запад.
Второй закон Ньютона для подвешенного груза (математического маятника) в инерциальной системе отсчета стороннего наблюдателя запишется как
$P_{ \pm} = mg - \frac{m( \omega R \pm V)^{2}}{R} = mg - m \omega^{2} R \mp m2 \omega V - m \frac{V^{2}}{R}$. (1)
В стоящем поезде $P_{0} = mg - m \omega^{2} R$.
Удвоенная линейная скорость вращения Земли на экваторе $2 \omega R \approx 4 \pi \frac{6400}{3600 \cdot 24} \approx 1 \frac{км}{с}$ что в 30 раз превышает скорость скорого поезда $V$. Поэтому в уравнении (1) можно пренебречь членом $m \frac{V^{2}}{R}$ по сравнению с $m 2 \omega V$.
Периоды колебаний маятника для различных случаев:
$T_{ \pm} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g - \omega^{2} R \mp 2 \omega V}}, T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g - \omega^{2} R}}$. (2)
Несложно проверить, что относительное изменение периода колебаний будет мало. Поэтому $\frac{T_{ \pm} - T_{0}}{T_{0}} \approx \frac{T_{ \pm} - T_{0}}{T_{ \pm}} = 1 - \frac{T_{0}}{T_{ \pm}}$ (в знаменателе для удобства $T_{0}$ заменили $T_{ \pm}$).
Из (2) получаем
$\left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} \right )^{2} = 1 \mp \frac{2 \omega V}{g - \omega^{2} R} \approx 1 \mp \frac{2 \omega V}{g}$. (3)
В силу малости члена $\omega^{2} R$ по сравнению с $g$ его отбросили в (3). Далее из (3)
$\left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} \right )^{2} - 1 = \left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} - 1 \right ) \left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} + 1 \right ) \approx \left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} -1 \right ) \approx \mp \frac{2 \omega V}{g}$. (4)
Из-за малого различия периодов колебаний в (4) приближенно положили $\left ( \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} \right ) + 1 \approx 2$.
Пусть скорость поезда — $30 м/с, g \approx 10 м/с^{2}$.
Тогда из (4) $1 - \frac{T_{0}}{T_{ \pm}} \approx \pm \frac{ \omega V}{g} \approx \pm \frac{2 \pi \cdot 30}{3600 \cdot 24 \cdot 10} \approx \pm 5 \cdot 10^{-4}$.
