Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2476
2017-03-24 
Деревянный стержень подвешен на нити над сосудом с водой. При подъеме сосуда стержень погружается в воду сначала вертикально, затем наклоняется, а при дальнейшем подъеме остается горизонтальным. Объясните демонстрируемое явление.
Решение:
При погружении стержня повышается выталкивающая сила Архимеда и с некоторого момента теряется устойчивость вертикального положения.
Пусть сечение стержня — $S$, длина — $H$, расстояние от вершины стержня до уровня воды — $h$, плотность дерева — $\rho_{д}$, плотность воды — $\rho_{в}$.
Масса стержня равна
$m = \rho_{д} HS$.
Сила Архимеда
$F_{A} = \rho_{в} (H - h) Sg = \frac{mg}{H} (H-h) \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{д}}$. (1)
В положении неустойчивого равновесия при небольших углах наклона стержня от вертикального положения моменты действующих сил не возвращают его, а «уводят» дальше.
Рассмотрим моменты силы Архимеда и силы тяжести относительно его вершины. При небольших поворотах сила Архимеда практически не меняется и вычисляется по формуле (1).
Плечо силы Архимеда
$\left ( H - \frac{H-h}{2} \right ) \sin \alpha = \frac{H+h}{2} \sin \alpha$,
$F_{A} \frac{(H+h)}{2} \sin \alpha = \frac{mg}{H} (H-h) \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{д}} \frac{(h+H)}{2} \sin \alpha > mg \frac{H}{2} \sin \alpha$, (2)
После упрощения (2) получаем
$(H^{2} - h^{2}) \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{д}} > H^{2}$.
Неустойчивость вертикального положения наступает при
$h < h_{кр} = H \sqrt{1 - \frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}}}$.
Можно показать, что сила натяжения при потере устойчивости не равна нулю. Действительно, в вертикальном погружении сила натяжения «зануляется» при $mg = F_{A}$. Другими словами, при
$h = h_{0} = H \left ( 1 - \frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}} \right )$.
При $\frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}} < 1$ всегда $h_{0} < h_{кр}$, так как $\sqrt{1 - \frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}} } > 1 - \frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}}$.
При дальнейшем повышении уровня воды стержень будет наклоняться. При этом сила Архимеда не будет меняться практически до достижения горизонтального положения.
В горизонтальном устойчивом положении сила натяжения равна нулю.
Деревянный стержень подвешен на нити над сосудом с водой. При подъеме сосуда стержень погружается в воду сначала вертикально, затем наклоняется, а при дальнейшем подъеме остается горизонтальным. Объясните демонстрируемое явление.
Решение:
При погружении стержня повышается выталкивающая сила Архимеда и с некоторого момента теряется устойчивость вертикального положения.
Пусть сечение стержня — $S$, длина — $H$, расстояние от вершины стержня до уровня воды — $h$, плотность дерева — $\rho_{д}$, плотность воды — $\rho_{в}$.
Масса стержня равна
$m = \rho_{д} HS$.
Сила Архимеда
$F_{A} = \rho_{в} (H - h) Sg = \frac{mg}{H} (H-h) \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{д}}$. (1)
В положении неустойчивого равновесия при небольших углах наклона стержня от вертикального положения моменты действующих сил не возвращают его, а «уводят» дальше.
Рассмотрим моменты силы Архимеда и силы тяжести относительно его вершины. При небольших поворотах сила Архимеда практически не меняется и вычисляется по формуле (1).
Плечо силы Архимеда
$\left ( H - \frac{H-h}{2} \right ) \sin \alpha = \frac{H+h}{2} \sin \alpha$,
$F_{A} \frac{(H+h)}{2} \sin \alpha = \frac{mg}{H} (H-h) \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{д}} \frac{(h+H)}{2} \sin \alpha > mg \frac{H}{2} \sin \alpha$, (2)
После упрощения (2) получаем
$(H^{2} - h^{2}) \frac{ \rho_{в}}{ \rho_{д}} > H^{2}$.
Неустойчивость вертикального положения наступает при
$h < h_{кр} = H \sqrt{1 - \frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}}}$.
Можно показать, что сила натяжения при потере устойчивости не равна нулю. Действительно, в вертикальном погружении сила натяжения «зануляется» при $mg = F_{A}$. Другими словами, при
$h = h_{0} = H \left ( 1 - \frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}} \right )$.
При $\frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}} < 1$ всегда $h_{0} < h_{кр}$, так как $\sqrt{1 - \frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}} } > 1 - \frac{ \rho_{д}}{ \rho_{в}}$.
При дальнейшем повышении уровня воды стержень будет наклоняться. При этом сила Архимеда не будет меняться практически до достижения горизонтального положения.
В горизонтальном устойчивом положении сила натяжения равна нулю.
