Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2475
2017-03-24 
Оценить относительное изменение периода обращения Земли вокруг оси $( \Delta T/T)$, при котором относительное изменение веса тела $( \Delta P/P)$ будет равно 10 %.
Предполагается, что Вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие и необходимые для решения задачи величины, выбрать их числовые значения и получить численный результат.
Решение:
В связи с вращением Земли вокруг оси вес тела $P$ меньше $mg$. Второй закон Ньютона для тела, покоящегося на Земле $m \vec{a}_{цс} = m \vec{g} + \vec{P}$.
Центростремительное ускорение $a_{цс} = m \omega^{2} R_{зем} \cos \alpha$, где $\alpha$ — широта местности $\omega$ — угловая скорость вращения Земли, связанная с периодом вращения $T$:
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$.
Вследствие малости центростремительной силы по сравнению с силой тяжести, угол $\beta$ между направлениями векторов $m \vec{g}$ и $\vec{P}$ мал. Поэтому, проектируя силы на направление вектора силы тяжести, получаем
$P \approx mg - ma_{цс} \cos \alpha = mg - m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha$.
Пусть $\omega_{X}, T_{X}$ — угловая скорость и период вращения Земли, при которых вес изменился на 10 %:
$\frac{ \delta P}{P} = \frac{(mg - m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha) - (mg - m \omega_{X}^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha)}{mg - m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha}$.
Так как поправка к весу тела при вращении Земли мала
$(m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha \ll mg)$,
то
$\frac{ \delta P}{P} = \frac{m( \omega_{X}^{2} - \omega^{2}) R_{зем} \cos^{2} \alpha}{mg - m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha} \approx \frac{ \omega_{X}^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha}{g} \approx 0,1$. (1)
Из (1) получаем
$\omega_{X} \approx \sqrt{ \frac{0,1g}{R_{зем} \cos^{2} \alpha}}$. (2)
Радиус Земли $R_{зем} \approx 6400 км, g \approx 10 \frac{м}{с^{2}}$, период обращения сутки.
В наших широтах $\cos \alpha \approx 0,5$. Далее
$\frac{ \delta T}{T} = \frac{T-T_{X}}{T} = 1 - \frac{T_{X}}{T}$.
Используя (2), получаем
$\frac{T_{X}}{T} = \frac{ \omega}{ \omega_{X}} \approx \frac{2 \pi \cos \alpha}{T} \sqrt{ \frac{R_{зем}}{0,1g}} \approx \frac{2 \pi \cdot 0,5}{3600 \cdot 24} \sqrt{ \frac{6400000}{0,1 \cdot 10}} \approx 0,09 \approx 0,1$,
откуда $\frac{ \delta T}{T} \approx 0, 9 \approx 1$.
Оценить относительное изменение периода обращения Земли вокруг оси $( \Delta T/T)$, при котором относительное изменение веса тела $( \Delta P/P)$ будет равно 10 %.
Предполагается, что Вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие и необходимые для решения задачи величины, выбрать их числовые значения и получить численный результат.
Решение:
В связи с вращением Земли вокруг оси вес тела $P$ меньше $mg$. Второй закон Ньютона для тела, покоящегося на Земле $m \vec{a}_{цс} = m \vec{g} + \vec{P}$.
Центростремительное ускорение $a_{цс} = m \omega^{2} R_{зем} \cos \alpha$, где $\alpha$ — широта местности $\omega$ — угловая скорость вращения Земли, связанная с периодом вращения $T$:
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$.
Вследствие малости центростремительной силы по сравнению с силой тяжести, угол $\beta$ между направлениями векторов $m \vec{g}$ и $\vec{P}$ мал. Поэтому, проектируя силы на направление вектора силы тяжести, получаем
$P \approx mg - ma_{цс} \cos \alpha = mg - m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha$.
Пусть $\omega_{X}, T_{X}$ — угловая скорость и период вращения Земли, при которых вес изменился на 10 %:
$\frac{ \delta P}{P} = \frac{(mg - m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha) - (mg - m \omega_{X}^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha)}{mg - m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha}$.
Так как поправка к весу тела при вращении Земли мала
$(m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha \ll mg)$,
то
$\frac{ \delta P}{P} = \frac{m( \omega_{X}^{2} - \omega^{2}) R_{зем} \cos^{2} \alpha}{mg - m \omega^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha} \approx \frac{ \omega_{X}^{2} R_{зем} \cos^{2} \alpha}{g} \approx 0,1$. (1)
Из (1) получаем
$\omega_{X} \approx \sqrt{ \frac{0,1g}{R_{зем} \cos^{2} \alpha}}$. (2)
Радиус Земли $R_{зем} \approx 6400 км, g \approx 10 \frac{м}{с^{2}}$, период обращения сутки.
В наших широтах $\cos \alpha \approx 0,5$. Далее
$\frac{ \delta T}{T} = \frac{T-T_{X}}{T} = 1 - \frac{T_{X}}{T}$.
Используя (2), получаем
$\frac{T_{X}}{T} = \frac{ \omega}{ \omega_{X}} \approx \frac{2 \pi \cos \alpha}{T} \sqrt{ \frac{R_{зем}}{0,1g}} \approx \frac{2 \pi \cdot 0,5}{3600 \cdot 24} \sqrt{ \frac{6400000}{0,1 \cdot 10}} \approx 0,09 \approx 0,1$,
откуда $\frac{ \delta T}{T} \approx 0, 9 \approx 1$.
