Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2471
2017-03-24 
Внутри конуса, который вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, находится небольшое тело на расстоянии $r$ от нее. Угол раствора конуса равен $2 \alpha$. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ тело будет вращаться вместе с конусом? Ускорение свободного падения $g$. Известно, что $\frac{ \omega^{2} r}{g} < ctg \alpha$.
Решение:
На тело действует сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции поверхности — $\vec{N}$, сила трения — $\vec{F}$, которые в сумме равны центростремительной силе
а) Пусть сила трения направлена вниз. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертитекальную и горизонтальные оси:
$\begin{cases} mg = N \sin \alpha - F \cos \alpha, \\ m \omega^{2} r = N \cos \alpha + F \sin \alpha. \end{cases}$ (1)
Из системы (1) получаем
$\begin{cases} F = - mg \cos \alpha + m \omega^{2} r \sin \alpha, \\ N = mg \sin \alpha + m \omega^{2} r \cos \alpha. \end{cases}$ (2)
Подставляя в (2) неравенство $F \leq \mu N$, получаем
$\mu \geq \frac{ - g \cdot ctg \alpha + \omega^{2} r}{ g + \omega^{2} r \cdot ctg \alpha}$,
что противоречит условию $\frac{ \omega^{2}r}{g} < ctg \alpha$.
б) Пусть сила трения направлена вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную и горизонтальные оси:
$\begin{cases} mg = N \sin \alpha + F \cos \alpha, \\ m \omega^{2} r = N \cos \alpha - F \sin \alpha. \end{cases}$ (3)
Из системы (3) получаем
$\begin{cases} F = mg \cos \alpha - m \omega^{2} R \sin \alpha, \\ N = mg \sin \alpha + m \omega^{2} r \cos \alpha. \end{cases}$ (4)
Подставляя в (4) неравенство $F \leq \mu N$, получаем
$\mu \geq \frac{g \cdot ctg \alpha \omega^{2} r}{g + \omega^{2} r \cdot ctg \alpha}$,
что не противоречит условию $\frac{}{} < ctg \alpha$.
Внутри конуса, который вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, находится небольшое тело на расстоянии $r$ от нее. Угол раствора конуса равен $2 \alpha$. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ тело будет вращаться вместе с конусом? Ускорение свободного падения $g$. Известно, что $\frac{ \omega^{2} r}{g} < ctg \alpha$.
Решение:
На тело действует сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции поверхности — $\vec{N}$, сила трения — $\vec{F}$, которые в сумме равны центростремительной силе
а) Пусть сила трения направлена вниз. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертитекальную и горизонтальные оси:
$\begin{cases} mg = N \sin \alpha - F \cos \alpha, \\ m \omega^{2} r = N \cos \alpha + F \sin \alpha. \end{cases}$ (1)
Из системы (1) получаем
$\begin{cases} F = - mg \cos \alpha + m \omega^{2} r \sin \alpha, \\ N = mg \sin \alpha + m \omega^{2} r \cos \alpha. \end{cases}$ (2)
Подставляя в (2) неравенство $F \leq \mu N$, получаем
$\mu \geq \frac{ - g \cdot ctg \alpha + \omega^{2} r}{ g + \omega^{2} r \cdot ctg \alpha}$,
что противоречит условию $\frac{ \omega^{2}r}{g} < ctg \alpha$.
б) Пусть сила трения направлена вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную и горизонтальные оси:
$\begin{cases} mg = N \sin \alpha + F \cos \alpha, \\ m \omega^{2} r = N \cos \alpha - F \sin \alpha. \end{cases}$ (3)
Из системы (3) получаем
$\begin{cases} F = mg \cos \alpha - m \omega^{2} R \sin \alpha, \\ N = mg \sin \alpha + m \omega^{2} r \cos \alpha. \end{cases}$ (4)
Подставляя в (4) неравенство $F \leq \mu N$, получаем
$\mu \geq \frac{g \cdot ctg \alpha \omega^{2} r}{g + \omega^{2} r \cdot ctg \alpha}$,
что не противоречит условию $\frac{}{} < ctg \alpha$.
