Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2467
2017-03-24 
Шарики массы $m$ и $M$ с одинаковыми зарядами $q$ соединены легким стержнем длины $L$. Система вначале покоится. Включается однородное электрическое поле $E$, направленное перпендикулярно стержню. Чему будет равна сила натяжения стержня в момент, когда он повернется на $90^{ \circ}$?
Решение:
Центр масс системы движется равноускоренно по действием постоянной внешней силы $2qE$. Ускорение равно $a = \frac{2qE}{m+M}$. При равноускоренном движении расстояние $X$, пройденное центром масс, его скорость $V$ в конечном состоянии и ускорение $a$ связаны соотношением
$X = \frac{V^{2}}{2a} = \frac{V^{2}(m+M)}{4qE}$. (1)
Так как стержень нерастяжим, в конечном состоянии проекции скоростей шариков на ось x будет также равны $V$. Расстояние от шариков до центра масс соответственно равны
$l_{1} = L \frac{M}{m+M}, l_{2} = L \frac{m}{m+M}$. (2)
Суммарная кинетическая энергия шариков в конечном состоянии
$\frac{m(V^{2} + u_{1}^{2})}{2} + \frac{M(V^{2} + u_{2}^{2})}{2}$
равна работе внешних сил, которая с учетом выражений (2) и (1) запишется как
$qE(X - l_{1}) + qE(X+ l_{2}) = qE \left ( 2X + L \frac{M-m}{M+m} \right ) = \frac{(M+m)V^{2}}{2} + qEL \frac{M-m}{M+m}$. (3)
Следовательно,
$\frac{mu_{1}^{2}}{2} + \frac{Mu_{2}^{2}}{2} = qEL \frac{M-m}{M+m}$. (3)
В направлении У импульс системы сохраняется. Поэтому $mu_{1} = Mu_{2}$. С учетом этого из уравнения (3) получается
$u_{1}^{2} = 2qEL \frac{(M-m)}{(M+m)^{2}} \frac{M}{m}, u_{2}^{2} = 2qEL \frac{(M-m)}{(M+m)^{2}} \frac{m}{M}$.
В конечном состоянии каждый шарик под действием всех сил (силы натяжения стержня $T$, кулоновской силы $\frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}}$ и силы со стороны поля $qE$) движется поступательно с ускорением цента масс $a$ и вращается с центростремительным ускорением относительно центра масс. Например, для шарика массы $m$ второй закон Ньютона запишется как $ma - \frac{mu_{1}^{2}}{l_{1}} = - T + qE + \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}}$. Откуда
$T = 3qE \frac{M-m}{M+m} + \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}}$.
Шарики массы $m$ и $M$ с одинаковыми зарядами $q$ соединены легким стержнем длины $L$. Система вначале покоится. Включается однородное электрическое поле $E$, направленное перпендикулярно стержню. Чему будет равна сила натяжения стержня в момент, когда он повернется на $90^{ \circ}$?
Решение:
Центр масс системы движется равноускоренно по действием постоянной внешней силы $2qE$. Ускорение равно $a = \frac{2qE}{m+M}$. При равноускоренном движении расстояние $X$, пройденное центром масс, его скорость $V$ в конечном состоянии и ускорение $a$ связаны соотношением
$X = \frac{V^{2}}{2a} = \frac{V^{2}(m+M)}{4qE}$. (1)
Так как стержень нерастяжим, в конечном состоянии проекции скоростей шариков на ось x будет также равны $V$. Расстояние от шариков до центра масс соответственно равны
$l_{1} = L \frac{M}{m+M}, l_{2} = L \frac{m}{m+M}$. (2)
Суммарная кинетическая энергия шариков в конечном состоянии
$\frac{m(V^{2} + u_{1}^{2})}{2} + \frac{M(V^{2} + u_{2}^{2})}{2}$
равна работе внешних сил, которая с учетом выражений (2) и (1) запишется как
$qE(X - l_{1}) + qE(X+ l_{2}) = qE \left ( 2X + L \frac{M-m}{M+m} \right ) = \frac{(M+m)V^{2}}{2} + qEL \frac{M-m}{M+m}$. (3)
Следовательно,
$\frac{mu_{1}^{2}}{2} + \frac{Mu_{2}^{2}}{2} = qEL \frac{M-m}{M+m}$. (3)
В направлении У импульс системы сохраняется. Поэтому $mu_{1} = Mu_{2}$. С учетом этого из уравнения (3) получается
$u_{1}^{2} = 2qEL \frac{(M-m)}{(M+m)^{2}} \frac{M}{m}, u_{2}^{2} = 2qEL \frac{(M-m)}{(M+m)^{2}} \frac{m}{M}$.
В конечном состоянии каждый шарик под действием всех сил (силы натяжения стержня $T$, кулоновской силы $\frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}}$ и силы со стороны поля $qE$) движется поступательно с ускорением цента масс $a$ и вращается с центростремительным ускорением относительно центра масс. Например, для шарика массы $m$ второй закон Ньютона запишется как $ma - \frac{mu_{1}^{2}}{l_{1}} = - T + qE + \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}}$. Откуда
$T = 3qE \frac{M-m}{M+m} + \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L^{2}}$.
