Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2465
2017-03-24 
На горизонтальной плоскости находится невесомый кубический сосуд, разделенный тонким подвижным поршнем массы $m$. В каждой части сосуда находится по одному молю идеального газа при постоянной температуре $T$. С какой вертикальной силой $F$ нужно удерживать нижнее ребро сосуда, чтобы он сохранял положение, в котором его дно составляет с плоскостью угол $\alpha$? Сторона куба равна $a$. Трением, а также массой газа в сосуде пренебречь. Газовая постоянная равна $R$.
Решение:
Пусть поршень сместился вниз от центрального положения, так что отстоит от левой стенки куба на расстоянии $x$. Если слева от поршня давление равно $p_{l}$, а справа — $p_{r}$, то изотермичность всего процесса означает, что $p_{l}xa^{2} = p_{r}(a - x)a^{2} = RT$. Условие равновесия поршня:
$mg \sin \alpha + p_{r}a^{2} = p_{l}a^{2} \Rightarrow Mg \sin \alpha = a^{2} (p_{l} - p_{r}) = \frac{RT}{x} - \frac{RT}{(a-x)}$.
Отсюда имеем уравнение
$\frac{1}{x} - \frac{1}{a-x} = \frac{Mg \sin \alpha}{RT} \equiv b$ или $bx^{2} - (2 + ab) x + a = 0$.
Корни этого уравнения равны
$x_{1,2} = \frac{2 + ab \pm \sqrt{4 + a^{2}b^{2}}}{2b}$.
Для выбора правильного знака проверим знак выражения $a/2 - x$ (это величина смещения поршня вниз от начального положения равновесия посередине куба; ясно, что эта величина должна быть > 0, так как поршень вверх сместиться не может):
$a/2 - x = \frac{a}{2} - \frac{2 + ab \pm \sqrt{}}{2b} = \frac{ -2 \mp \sqrt{}}{2b}$.
Видно, что правильный знак корня «—», так что
$x = \frac{0 + ab - \sqrt{4 + a^{2}b^{2}}}{2b}$ и при этом $ \frac{a}{2} - x = \frac{ \sqrt{4 + a^{2}b^{2}} - 2}{2b}$.
Плечо силы тяжести $Mg$ поршня относительно нижнего ребра куба равно $\left ( \frac{a}{2} - x \right ) \cos \alpha - \frac{a}{2} \sin \alpha$, так что условие равновесия куба при действии искомой силы $F$ имеет вид
$Mg \left [ \left ( \frac{a}{2} - x \right ) \cos \alpha - \frac{a}{2} \sin \alpha \right ] = Fa \cos \alpha$,
откуда
$F = \frac{Mg}{2} \left ( \frac{ \sqrt{4 + a^{2}b^{2}} - 2}{ab} - tg \alpha \right )$.
Видно, что вместо $b$ следует ввести безразмерную константу $k = ab = \frac{Mga \sin \alpha}{RT}$, и тогда искомая сила $F$ равна
$F = \frac{Mg}{2} \left ( \frac{ \sqrt{4 + k^{2}} - 2}{k} - tg \alpha \right )$.
На горизонтальной плоскости находится невесомый кубический сосуд, разделенный тонким подвижным поршнем массы $m$. В каждой части сосуда находится по одному молю идеального газа при постоянной температуре $T$. С какой вертикальной силой $F$ нужно удерживать нижнее ребро сосуда, чтобы он сохранял положение, в котором его дно составляет с плоскостью угол $\alpha$? Сторона куба равна $a$. Трением, а также массой газа в сосуде пренебречь. Газовая постоянная равна $R$.
Решение:
Пусть поршень сместился вниз от центрального положения, так что отстоит от левой стенки куба на расстоянии $x$. Если слева от поршня давление равно $p_{l}$, а справа — $p_{r}$, то изотермичность всего процесса означает, что $p_{l}xa^{2} = p_{r}(a - x)a^{2} = RT$. Условие равновесия поршня:
$mg \sin \alpha + p_{r}a^{2} = p_{l}a^{2} \Rightarrow Mg \sin \alpha = a^{2} (p_{l} - p_{r}) = \frac{RT}{x} - \frac{RT}{(a-x)}$.
Отсюда имеем уравнение
$\frac{1}{x} - \frac{1}{a-x} = \frac{Mg \sin \alpha}{RT} \equiv b$ или $bx^{2} - (2 + ab) x + a = 0$.
Корни этого уравнения равны
$x_{1,2} = \frac{2 + ab \pm \sqrt{4 + a^{2}b^{2}}}{2b}$.
Для выбора правильного знака проверим знак выражения $a/2 - x$ (это величина смещения поршня вниз от начального положения равновесия посередине куба; ясно, что эта величина должна быть > 0, так как поршень вверх сместиться не может):
$a/2 - x = \frac{a}{2} - \frac{2 + ab \pm \sqrt{}}{2b} = \frac{ -2 \mp \sqrt{}}{2b}$.
Видно, что правильный знак корня «—», так что
$x = \frac{0 + ab - \sqrt{4 + a^{2}b^{2}}}{2b}$ и при этом $ \frac{a}{2} - x = \frac{ \sqrt{4 + a^{2}b^{2}} - 2}{2b}$.
Плечо силы тяжести $Mg$ поршня относительно нижнего ребра куба равно $\left ( \frac{a}{2} - x \right ) \cos \alpha - \frac{a}{2} \sin \alpha$, так что условие равновесия куба при действии искомой силы $F$ имеет вид
$Mg \left [ \left ( \frac{a}{2} - x \right ) \cos \alpha - \frac{a}{2} \sin \alpha \right ] = Fa \cos \alpha$,
откуда
$F = \frac{Mg}{2} \left ( \frac{ \sqrt{4 + a^{2}b^{2}} - 2}{ab} - tg \alpha \right )$.
Видно, что вместо $b$ следует ввести безразмерную константу $k = ab = \frac{Mga \sin \alpha}{RT}$, и тогда искомая сила $F$ равна
$F = \frac{Mg}{2} \left ( \frac{ \sqrt{4 + k^{2}} - 2}{k} - tg \alpha \right )$.
