Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2462
2017-03-24 
Невесомый стержень длины $L$ с телами массы $m$ и $M$, закрепленными на его концах, движется поступательно со скоростью $\vec{V}_{0}$, перпендикулярной к его оси. Найти натяжение стержня после того, как к этим телам одновременно прилипнут два первоначально покоившихся тела с такими же массами $M$ и $m$ (см. рисунок).
Решение:
Поскольку удары тел не упруги, то закон сохранения энергии не работает, но законы сохранения импульса и момента импульса выполняются. После столкновения с неподвижными телами и их прилипания гантель (а именно так выглядит система из двух тел, находящихся на разных концах стержня) закрутится вокруг оси z, проходящей через середину гантели перпендикулярно плоскости через ось гантели и вектор скорости $V_{0}$. Возможны два варианта решения.
Первый основан на законах сохранения по отношению к системе в целом. Так как массы на концах гантели разные, то относительно оси z момент импульса системы равен $M_{z} = (M - m) V_{0} \frac{l}{2}$. После столкновения каждое из тел массы $M + m$ на концах гантели будет иметь скорость $\pm V_{вр}$ такую, что $M_{z} = 2(M + m)V_{вр} \frac{l}{2}$. Сохранение $M_{z}$ означает, что $V_{вр} = \frac{M-m}{M+m} \frac{V_{0}}{2}$. Тогда натяжение стержня с каждого из его концов равно
$T = (M+m) \frac{V_{вр}^{2}}{l/2} = \frac{(M-m)^{2}}{M+m} \frac{V_{0}^{2}}{2l}$.
Другой способ определения $V_{вр}$ состоит в раздельном рассмотрении столкновений каждого из тел на концах гантели со своим партнером. Сохранение импульса для этих столкновений означает, что для «верхней» пары $MV_{0} = (M + m)V_{u}$, а для «нижней» — соответственно $mV_{0} = (M + m)V_{d}$. Таким образом, после столкновения «верх» гантели движется со скоростью $V_{u} = \frac{M}{m+M} V_{0}$ и ее «низ» — со скоростью $V_{d} = \frac{m}{M+m}V_{0}$. Поэтому середина гантели движется со скоростью $V_{c} = \frac{V_{u} - V_{d}}{2} = \frac{1}{2} V_{0}$, так что «верхнее» тело массы $M + m$ имеет скорость вращения относительно центра тяжести системы (т. е. относительно оси $z$), равную $V_{вр} = V_{u} - _{c} = \frac{M-m}{M+m} \frac{V_{0}}{2}$ «нижнее» тело той же массы будет иметь скорость $V_{d} - V_{c} = - \frac{M-m}{M+m} \frac{V_{0}}{2} = - V_{вр}$, что и было уже получено ранее.
Невесомый стержень длины $L$ с телами массы $m$ и $M$, закрепленными на его концах, движется поступательно со скоростью $\vec{V}_{0}$, перпендикулярной к его оси. Найти натяжение стержня после того, как к этим телам одновременно прилипнут два первоначально покоившихся тела с такими же массами $M$ и $m$ (см. рисунок).
Решение:
Поскольку удары тел не упруги, то закон сохранения энергии не работает, но законы сохранения импульса и момента импульса выполняются. После столкновения с неподвижными телами и их прилипания гантель (а именно так выглядит система из двух тел, находящихся на разных концах стержня) закрутится вокруг оси z, проходящей через середину гантели перпендикулярно плоскости через ось гантели и вектор скорости $V_{0}$. Возможны два варианта решения.
Первый основан на законах сохранения по отношению к системе в целом. Так как массы на концах гантели разные, то относительно оси z момент импульса системы равен $M_{z} = (M - m) V_{0} \frac{l}{2}$. После столкновения каждое из тел массы $M + m$ на концах гантели будет иметь скорость $\pm V_{вр}$ такую, что $M_{z} = 2(M + m)V_{вр} \frac{l}{2}$. Сохранение $M_{z}$ означает, что $V_{вр} = \frac{M-m}{M+m} \frac{V_{0}}{2}$. Тогда натяжение стержня с каждого из его концов равно
$T = (M+m) \frac{V_{вр}^{2}}{l/2} = \frac{(M-m)^{2}}{M+m} \frac{V_{0}^{2}}{2l}$.
Другой способ определения $V_{вр}$ состоит в раздельном рассмотрении столкновений каждого из тел на концах гантели со своим партнером. Сохранение импульса для этих столкновений означает, что для «верхней» пары $MV_{0} = (M + m)V_{u}$, а для «нижней» — соответственно $mV_{0} = (M + m)V_{d}$. Таким образом, после столкновения «верх» гантели движется со скоростью $V_{u} = \frac{M}{m+M} V_{0}$ и ее «низ» — со скоростью $V_{d} = \frac{m}{M+m}V_{0}$. Поэтому середина гантели движется со скоростью $V_{c} = \frac{V_{u} - V_{d}}{2} = \frac{1}{2} V_{0}$, так что «верхнее» тело массы $M + m$ имеет скорость вращения относительно центра тяжести системы (т. е. относительно оси $z$), равную $V_{вр} = V_{u} - _{c} = \frac{M-m}{M+m} \frac{V_{0}}{2}$ «нижнее» тело той же массы будет иметь скорость $V_{d} - V_{c} = - \frac{M-m}{M+m} \frac{V_{0}}{2} = - V_{вр}$, что и было уже получено ранее.
