Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2459
2017-03-24 
На тонкой спице находится бусинка с массой $M$ и зарядом $Q$. Найти минимальный коэффициент трения $\mu$ между бусинкой и спицей, при котором бусинка не сдвинется, если передвигать по полуокружности радиуса $R$ из точки А в точку В заряд $q$. Размерами тел пренебречь.
Решение:
Предположим, что заряды противоположны по знаку. Тогда бусинка не сдвинется при условии
$\mu \left ( Mg - \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \sin \alpha \right ) \geq \frac{qQ}{ 4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \cos \alpha$.
Отсюда
$\mu Mg \geq ( \mu \sin \alpha + \cos \alpha)qQ/(R^{2} 4 \pi \epsilon_{0})$.
Не прибегая к дифференцированию, найти минимальное значение можно, используя известный искусственный прием. Обозначим
$ctg \beta = \mu$, и $\frac{MgR^{2}}{kqQ} = 2 \lambda$.
Тогда $2 \lambda \mu \geq ( \mu \sin \alpha + \cos \alpha)$, откуда, с учетом того что
$\sin \beta = 1/ \sqrt{1 + \mu^{2}}, \cos \beta = \mu / \sqrt{1 + \mu^{2}}$,
получаем
$2 \lambda \mu \geq \sqrt{1 + \mu^{2}} \sin ( \alpha + \beta)$.
Отсюда минимальное значение $\mu$ при $\alpha + \beta = \pi/2$, т. е.
$\mu_{0} = \frac{1}{ \sqrt{4 \lambda^{2} - 1}}$ при $2 \lambda > 1$,
$2 \lambda = MgR^{2}/(kqQ) = Mg 4 \pi \epsilon_{0} R^{2} /(qQ)$.
Для случая отталкивания зарядов надо рассчитать очень простой случай действия сил по прямой АВ.
На тонкой спице находится бусинка с массой $M$ и зарядом $Q$. Найти минимальный коэффициент трения $\mu$ между бусинкой и спицей, при котором бусинка не сдвинется, если передвигать по полуокружности радиуса $R$ из точки А в точку В заряд $q$. Размерами тел пренебречь.
Решение:
Предположим, что заряды противоположны по знаку. Тогда бусинка не сдвинется при условии
$\mu \left ( Mg - \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \sin \alpha \right ) \geq \frac{qQ}{ 4 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \cos \alpha$.
Отсюда
$\mu Mg \geq ( \mu \sin \alpha + \cos \alpha)qQ/(R^{2} 4 \pi \epsilon_{0})$.
Не прибегая к дифференцированию, найти минимальное значение можно, используя известный искусственный прием. Обозначим
$ctg \beta = \mu$, и $\frac{MgR^{2}}{kqQ} = 2 \lambda$.
Тогда $2 \lambda \mu \geq ( \mu \sin \alpha + \cos \alpha)$, откуда, с учетом того что
$\sin \beta = 1/ \sqrt{1 + \mu^{2}}, \cos \beta = \mu / \sqrt{1 + \mu^{2}}$,
получаем
$2 \lambda \mu \geq \sqrt{1 + \mu^{2}} \sin ( \alpha + \beta)$.
Отсюда минимальное значение $\mu$ при $\alpha + \beta = \pi/2$, т. е.
$\mu_{0} = \frac{1}{ \sqrt{4 \lambda^{2} - 1}}$ при $2 \lambda > 1$,
$2 \lambda = MgR^{2}/(kqQ) = Mg 4 \pi \epsilon_{0} R^{2} /(qQ)$.
Для случая отталкивания зарядов надо рассчитать очень простой случай действия сил по прямой АВ.
