Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2445
2017-03-24 
На расстояниях $a$ — от левой и $b$ — от правой заземленных пластин параллельно им расположена незаряженная сетка (см. рисунок). Через малые отверстия в пластинах пролетают частицы с зарядом $q$ и массой $m$, скорость которых $\vec{v}_{0}$ перпендикулярна пластинам. На сколько изменится время пролета этих частиц, если на сетку подать потенциал $\phi$?
Решение:
Искомое время $\tau = \frac{a+b}{v_{0}} - t_{1} - t_{2} = \frac{a+b}{v_{0}} - t_{x}$, где $t_{1}$ и $t_{2}$ — времена пролета после подачи потенциала $\phi$. Соответственно ускорения $a_{1} = q \phi /am, a_{2} = q \phi/bm$. Причем $a_{1}t_{1} - a_{2}t_{2} = v \cdot v_{0}, a = vt_{1} + a_{1}t_{1}^{2}/2; b = v_{0}t_{2} + a_{2}t_{2}^{2}/2$.
Сложим два последних равенства:
$a+b = v_{0} (t_{1} + t_{2} + \frac{1}{2} (a_{1}t_{1}^{2} + a_{2}t_{2}^{2})) = v_{0}t_{x} + \frac{1}{2} a_{1}t_{1} \cdot t_{x} = t_{x} (v_{0} + \frac{1}{2} a_{1}t_{1}) = \frac{1}{2} t_{x} (v+v_{0})$.
Отсюда $t_{x} = \frac{2(a+b)}{v+v_{0}}$. Поскольку $v = \sqrt{v_{0}^{2} + 2a_{1} \cdot a} = \sqrt{v_{0}^{2} + \frac{2q \phi}{am} a} = \sqrt{v_{0}^{2} + 2q \phi /m}, t_{x} = 2 (a+b)/(v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2q \phi /m})$.
Тогда
$\tau = \frac{a+b}{v_{0}} - t_{x} = \frac{a+b}{v_{0}} \cdot \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2q \phi /m} - v_{0}}{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2q \phi /m} + v_{0}}$.
Ответ можно было бы написать сразу, сообразив, что в виду равноускоренное движения частиц на пути $a + b$ движение происходило со средней скоростью, равной среднеарифметической:
$v_{ср} =(v + v_{0})/2 = \left ( \sqrt{v_{0}^{2} + 2q \phi / m} + v_{0} \right )/2$.
На расстояниях $a$ — от левой и $b$ — от правой заземленных пластин параллельно им расположена незаряженная сетка (см. рисунок). Через малые отверстия в пластинах пролетают частицы с зарядом $q$ и массой $m$, скорость которых $\vec{v}_{0}$ перпендикулярна пластинам. На сколько изменится время пролета этих частиц, если на сетку подать потенциал $\phi$?
Решение:
Искомое время $\tau = \frac{a+b}{v_{0}} - t_{1} - t_{2} = \frac{a+b}{v_{0}} - t_{x}$, где $t_{1}$ и $t_{2}$ — времена пролета после подачи потенциала $\phi$. Соответственно ускорения $a_{1} = q \phi /am, a_{2} = q \phi/bm$. Причем $a_{1}t_{1} - a_{2}t_{2} = v \cdot v_{0}, a = vt_{1} + a_{1}t_{1}^{2}/2; b = v_{0}t_{2} + a_{2}t_{2}^{2}/2$.
Сложим два последних равенства:
$a+b = v_{0} (t_{1} + t_{2} + \frac{1}{2} (a_{1}t_{1}^{2} + a_{2}t_{2}^{2})) = v_{0}t_{x} + \frac{1}{2} a_{1}t_{1} \cdot t_{x} = t_{x} (v_{0} + \frac{1}{2} a_{1}t_{1}) = \frac{1}{2} t_{x} (v+v_{0})$.
Отсюда $t_{x} = \frac{2(a+b)}{v+v_{0}}$. Поскольку $v = \sqrt{v_{0}^{2} + 2a_{1} \cdot a} = \sqrt{v_{0}^{2} + \frac{2q \phi}{am} a} = \sqrt{v_{0}^{2} + 2q \phi /m}, t_{x} = 2 (a+b)/(v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2q \phi /m})$.
Тогда
$\tau = \frac{a+b}{v_{0}} - t_{x} = \frac{a+b}{v_{0}} \cdot \frac{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2q \phi /m} - v_{0}}{ \sqrt{v_{0}^{2} - 2q \phi /m} + v_{0}}$.
Ответ можно было бы написать сразу, сообразив, что в виду равноускоренное движения частиц на пути $a + b$ движение происходило со средней скоростью, равной среднеарифметической:
$v_{ср} =(v + v_{0})/2 = \left ( \sqrt{v_{0}^{2} + 2q \phi / m} + v_{0} \right )/2$.
