2014-05-31
Имеется $N$ конденсаторов с емкостями $C_{1},C_{2}, \cdots ,C_{N}$. По одному
из выводов конденсаторов соединены вместе. Конденсаторы не заряжены. Затем свободные выводы конденсаторов подсоединяют соответственно к $N$ клеммам с потенциалами $\phi_{1},\phi_{2}, \cdots ,\phi_{N}$ (рис.). Определите заряд на каждом конденсаторе.
Решение:
Пусть $\phi_{0}$ - потенциал общей точки. Заряд $q_{i}$ внешней пластины i-го конденсатора определяется равенством
$q_{i}=(\phi_{1}-\phi_{0})C_{i}$. (1)
Заряд его внутренней пластины равен $-q_{i}$. Поскольку сумма зарядов всех внутренних пластин конденсаторов равна нулю, то равна нулю сумма зарядов внешних пластин, а в силу этого имеет место равенство
$\sum^{N}_{i=1}(\phi_{i}-\phi_{0})C_{i}=0$.
Отсюда находим потенциал $\phi_{0}$ общей точки
$\phi_{0} = \frac{\sum^{N}_{i=1} \phi_{i}C_{i}}{\sum^{N}_{i=1}C_{i}}$
Подставляя это значение $\phi_{0}$ в (1), получаем
$q_{i}= \left ( \phi_{i} - \frac{\sum^{N}_{k=1} \phi_{k}C_{k}}{\sum^{N}_{k=1}C_{i}} \right ) C_{i}$