Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2423
2017-03-18 
Электрический фильтр должен состоять из четырех компонент, соединенных так, как показано на рис.1. Импедансом источника напряжения можно пренебречь, а нагрузочное сопротивление считать бесконечно большим.
фильтр должен быть таким, чтобы отношение $U_{вых}/ U_{вх}$ зависело бы от частоты тока так, как показано на графике (рис. 2). При частоте $\nu_{0}$, разность фаз между $U_{вых}$ и $U_{вх}$ должна быть равной нулю.
Для построения фильтра вы можете выбрать четыре из следующих компонент: два резистора сопротивлением по 10 кОм, два конденсатора емкостью по 10 нФ, две катушки индуктивностью по 160 мГн (катушки не содержат железных сердечников, и их активным сопротивлением можно пренебречь).
Определите частоту $\nu_{0}$ и отношение $U_{вых}/U_{вх}$ при этой частоте для всех возможных комбинаций компонент.
рис.1
рис.2
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Рассмотрим самый общий случай, обозначив через $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}, Z_{4}$ импедансы элементов цепи (рис. 1).
Ясно, что при $\nu \rightarrow 0$ и $\nu \rightarrow \infty$ импеданс наших элементов должен либо стремиться к нулю, либо к бесконечности, либо оставаться постоянным.
Определим, в каких случаях будет выполнено условие
$K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}} = 1$.
Из рис. 2, а—г ясно, что $R = 1$, если
1) $Z_{1} \rightarrow 0$, 2) $Z_{2} \rightarrow 0$, 3) $Z_{3} \rightarrow \infty$, 4) $Z_{4} \rightarrow \infty$.
Рассчитаем полный импеданс цепи
$Z_{о6щ} = Z_{4} + \frac{(Z_{1} + Z_{3}) Z_{2}}{Z_{1} +Z_{2} + Z_{3}}$.
Обозначив силу тока в $Z_{4}$ через $I$, а силу тока в $Z_{3}$ через $i$ (рис. 1), получим
$U_{вх} = IZ_{общ}, U_{вых} = IZ_{4} + iZ_{3}$,
где $i = I \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}}$. Следовательно,
$K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}} = \frac{I \left ( Z_{4} + \frac{Z_{2}Z_{3}}{Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}} \right )}{I \left ( Z_{4} + \frac{(Z_{1} + Z_{3})Z_{3}}{Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}} \right )} = 1 - \frac{Z_{1}Z_{2}}{Z_{4} (Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}) + Z_{2} (Z_{1} + Z_{3})}$.
Представим это выражение в виде:
$K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}} = 1 - \frac{1}{A + iB}$.
Сдвига фаз ($\Delta \phi$) между напряжениями ($U_{вых}$ и $U_{вх}$ не будет, если $B=0$ и $K > 0$ (при $K < 0, \Delta \phi = \pi$). Нетрудно показать, преобразовав выражение для $K$:
$K = 1 - \frac{2A-1}{A^{2} + B^{2}}$,
что при $B = 0$ отношение $K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}}$ минимально и равно
$K_{min} = 1 - \frac{1}{A}$.
На рис. 3, a — м представлены 12 возможных схем, удовлетворяющих всем требованиям условия задачи.
а) На рис. 3, а изображена схема, для которой выполняются условия
$\nu \rightarrow 0, Z_{3} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{2} \rightarrow 0$;
$K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}} = 1 - \frac{R \frac{1}{i \omega C}}{R \left ( R + \frac{2}{i \omega C} + \right ) + \frac{1}{i \omega C} \left ( R + \frac{1}{i \omega C} + \right ) }$.
Отсюда следует, что прн $\omega_{0} = 1/CR = 10^{4} с^{-1}$, т. е. при $\nu_{0} = 1,59 \cdot 10^{3} Гц, K = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0,67$.
Аналогично рассчитываются все остальные схемы.
б) Схема по рис. 3, б:
$\nu \rightarrow 0, Z_{4} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{1} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{1}{ 3 + iR \left ( \omega C - \frac{1}{ \omega CR^{2}} \right )}$.
При $\omega_{0} = 1/CR = 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 1,59 \cdot 10^{3} Гц, K = 1 - \frac{1}{3} = 0,67$.
в) Схема по рнс. 3, в:
$\nu \rightarrow 0, Z_{1} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{4} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{1}{ 3 + i \left ( \frac{ \omega L}{R} - \frac{R}{ \omega L} \right )}$.
При $\omega_{0} = R/L = 6,25 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 10^{4} Гц, K = 1 - \frac{1}{3} =0,67$.
г) Схема по рис. 3, г:
$\nu \rightarrow 0, Z_{2} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{3} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{1}{ 3 + \frac{i}{R} \left ( \omega L - \frac{R^{2}}{ \omega L} \right )}$.
При $\omega_{0} = R/L = 6,25 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 10^{4} Гц, K = 1 - \frac{1}{3} \approx 0,67$.
д) Схема по рис. 3, д:
$\nu \rightarrow 0, Z_{1} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{2} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{L/C}{ R^{2} + \frac{L}{C} + iR \left ( \omega L - \frac{2}{ \omega L} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{2/LC} = 3,5 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 5,6 \cdot 10^{3} Гц, K = 1 - \frac{L/C}{R^{2} + L/C} = \frac{1}{1 + L/CR^{2}} = 0,86$.
е) Схема по рис. 3, е:
$\nu \rightarrow 0, Z_{2} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{1} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{L/C}{ R^{2} + \frac{L}{C} + iR \left ( 2 \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{1/2LC} = 1,7 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 2,8 кГц, K = \frac{1}{1 + L/CR^{2}} = 0,86$.
ж) Схема по рис. 3, ж:
$\nu \rightarrow 0, Z_{3} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{4} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{R}{ \frac{L}{C} + R^{2} + iR \left ( 2 \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{1/2LC} = 1,7 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 2,8 кГц, K = \frac{1}{1 + CR^{2}/L} \approx 0,14$.
з) Схема по рис. 3, а:
$\nu \rightarrow 0, Z_{4} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{3} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{R}{ 2R + i \left ( \omega L - \frac{2}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{2/LC} = 3,5 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 5,6 кГц, K = 0,5$.
и) Схема по рис. 3, и:
$\nu \rightarrow 0, Z_{2} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{4} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{R}{ 2R + i \left ( \omega L - \frac{2}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{2/LC} = 3,5 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 5,6 кГц, K = 0,5$.
к) Схема по рис. 3, к:
$\nu \rightarrow 0, Z_{4} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{2} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{R}{ 2 + \frac{i}{R} \left ( 2 \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{1/2LC} = 1,7 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 2,8 кГц, K = 0,5$.
л) Схема по рис. 3, л:
$\nu \rightarrow 0, Z_{2} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{1} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{L/C}{ \frac{i}{R} \left ( \omega L - \frac{2}{ \omega C} \right ) + \frac{2L}{C}}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{2/LC} = 3,5 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 5,6 кГц, K = 0,5$.
м) Схема на рис. 3, м:
$\nu \rightarrow 0, Z_{1} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{2} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{L/C}{ 2 + \frac{i}{R} \left ( 2 \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right ) + \frac{2L}{C}}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{1/2LC} = 1,7 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 2,8 кГц, K = 0,5$.
Электрический фильтр должен состоять из четырех компонент, соединенных так, как показано на рис.1. Импедансом источника напряжения можно пренебречь, а нагрузочное сопротивление считать бесконечно большим.
фильтр должен быть таким, чтобы отношение $U_{вых}/ U_{вх}$ зависело бы от частоты тока так, как показано на графике (рис. 2). При частоте $\nu_{0}$, разность фаз между $U_{вых}$ и $U_{вх}$ должна быть равной нулю.
Для построения фильтра вы можете выбрать четыре из следующих компонент: два резистора сопротивлением по 10 кОм, два конденсатора емкостью по 10 нФ, две катушки индуктивностью по 160 мГн (катушки не содержат железных сердечников, и их активным сопротивлением можно пренебречь).
Определите частоту $\nu_{0}$ и отношение $U_{вых}/U_{вх}$ при этой частоте для всех возможных комбинаций компонент.
рис.1
рис.2
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
Рассмотрим самый общий случай, обозначив через $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}, Z_{4}$ импедансы элементов цепи (рис. 1).
Ясно, что при $\nu \rightarrow 0$ и $\nu \rightarrow \infty$ импеданс наших элементов должен либо стремиться к нулю, либо к бесконечности, либо оставаться постоянным.
Определим, в каких случаях будет выполнено условие
$K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}} = 1$.
Из рис. 2, а—г ясно, что $R = 1$, если
1) $Z_{1} \rightarrow 0$, 2) $Z_{2} \rightarrow 0$, 3) $Z_{3} \rightarrow \infty$, 4) $Z_{4} \rightarrow \infty$.
Рассчитаем полный импеданс цепи
$Z_{о6щ} = Z_{4} + \frac{(Z_{1} + Z_{3}) Z_{2}}{Z_{1} +Z_{2} + Z_{3}}$.
Обозначив силу тока в $Z_{4}$ через $I$, а силу тока в $Z_{3}$ через $i$ (рис. 1), получим
$U_{вх} = IZ_{общ}, U_{вых} = IZ_{4} + iZ_{3}$,
где $i = I \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}}$. Следовательно,
$K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}} = \frac{I \left ( Z_{4} + \frac{Z_{2}Z_{3}}{Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}} \right )}{I \left ( Z_{4} + \frac{(Z_{1} + Z_{3})Z_{3}}{Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}} \right )} = 1 - \frac{Z_{1}Z_{2}}{Z_{4} (Z_{1} + Z_{2} + Z_{3}) + Z_{2} (Z_{1} + Z_{3})}$.
Представим это выражение в виде:
$K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}} = 1 - \frac{1}{A + iB}$.
Сдвига фаз ($\Delta \phi$) между напряжениями ($U_{вых}$ и $U_{вх}$ не будет, если $B=0$ и $K > 0$ (при $K < 0, \Delta \phi = \pi$). Нетрудно показать, преобразовав выражение для $K$:
$K = 1 - \frac{2A-1}{A^{2} + B^{2}}$,
что при $B = 0$ отношение $K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}}$ минимально и равно
$K_{min} = 1 - \frac{1}{A}$.
На рис. 3, a — м представлены 12 возможных схем, удовлетворяющих всем требованиям условия задачи.
а) На рис. 3, а изображена схема, для которой выполняются условия
$\nu \rightarrow 0, Z_{3} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{2} \rightarrow 0$;
$K = \frac{U_{вых}}{U_{вх}} = 1 - \frac{R \frac{1}{i \omega C}}{R \left ( R + \frac{2}{i \omega C} + \right ) + \frac{1}{i \omega C} \left ( R + \frac{1}{i \omega C} + \right ) }$.
Отсюда следует, что прн $\omega_{0} = 1/CR = 10^{4} с^{-1}$, т. е. при $\nu_{0} = 1,59 \cdot 10^{3} Гц, K = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0,67$.
Аналогично рассчитываются все остальные схемы.
б) Схема по рис. 3, б:
$\nu \rightarrow 0, Z_{4} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{1} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{1}{ 3 + iR \left ( \omega C - \frac{1}{ \omega CR^{2}} \right )}$.
При $\omega_{0} = 1/CR = 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 1,59 \cdot 10^{3} Гц, K = 1 - \frac{1}{3} = 0,67$.
в) Схема по рнс. 3, в:
$\nu \rightarrow 0, Z_{1} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{4} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{1}{ 3 + i \left ( \frac{ \omega L}{R} - \frac{R}{ \omega L} \right )}$.
При $\omega_{0} = R/L = 6,25 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 10^{4} Гц, K = 1 - \frac{1}{3} =0,67$.
г) Схема по рис. 3, г:
$\nu \rightarrow 0, Z_{2} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{3} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{1}{ 3 + \frac{i}{R} \left ( \omega L - \frac{R^{2}}{ \omega L} \right )}$.
При $\omega_{0} = R/L = 6,25 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 10^{4} Гц, K = 1 - \frac{1}{3} \approx 0,67$.
д) Схема по рис. 3, д:
$\nu \rightarrow 0, Z_{1} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{2} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{L/C}{ R^{2} + \frac{L}{C} + iR \left ( \omega L - \frac{2}{ \omega L} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{2/LC} = 3,5 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 5,6 \cdot 10^{3} Гц, K = 1 - \frac{L/C}{R^{2} + L/C} = \frac{1}{1 + L/CR^{2}} = 0,86$.
е) Схема по рис. 3, е:
$\nu \rightarrow 0, Z_{2} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{1} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{L/C}{ R^{2} + \frac{L}{C} + iR \left ( 2 \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{1/2LC} = 1,7 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 2,8 кГц, K = \frac{1}{1 + L/CR^{2}} = 0,86$.
ж) Схема по рис. 3, ж:
$\nu \rightarrow 0, Z_{3} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{4} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{R}{ \frac{L}{C} + R^{2} + iR \left ( 2 \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{1/2LC} = 1,7 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 2,8 кГц, K = \frac{1}{1 + CR^{2}/L} \approx 0,14$.
з) Схема по рис. 3, а:
$\nu \rightarrow 0, Z_{4} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{3} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{R}{ 2R + i \left ( \omega L - \frac{2}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{2/LC} = 3,5 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 5,6 кГц, K = 0,5$.
и) Схема по рис. 3, и:
$\nu \rightarrow 0, Z_{2} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{4} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{R}{ 2R + i \left ( \omega L - \frac{2}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{2/LC} = 3,5 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 5,6 кГц, K = 0,5$.
к) Схема по рис. 3, к:
$\nu \rightarrow 0, Z_{4} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{2} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{R}{ 2 + \frac{i}{R} \left ( 2 \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right )}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{1/2LC} = 1,7 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 2,8 кГц, K = 0,5$.
л) Схема по рис. 3, л:
$\nu \rightarrow 0, Z_{2} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{1} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{L/C}{ \frac{i}{R} \left ( \omega L - \frac{2}{ \omega C} \right ) + \frac{2L}{C}}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{2/LC} = 3,5 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 5,6 кГц, K = 0,5$.
м) Схема на рис. 3, м:
$\nu \rightarrow 0, Z_{1} \rightarrow \infty$;
$\nu \rightarrow \infty, Z_{2} \rightarrow 0$;
$K = 1 - \frac{L/C}{ 2 + \frac{i}{R} \left ( 2 \omega L - \frac{1}{ \omega C} \right ) + \frac{2L}{C}}$.
При $\omega_{0} = \sqrt{1/2LC} = 1,7 \cdot 10^{4} с^{-1}, \nu_{0} = 2,8 кГц, K = 0,5$.
