Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2422
2017-03-18 
а) На рис. показан ход луча через пло копараллельную прозрачную пластинку, коэффициент преломления которой изменяется с расстоянием $z$ от нижней поверхности пластинки. Докажите, что $n_{A} \sin \alpha = n_{B} \sin \beta$.
б) Представьте, что вы стоите посередине широкой плоской пустыни. Вдали вы видите нечто похожее на водную поверхность. Когда вы приближаетесь к «воде», она постепенно удаляется от вас, так что расстояние до «нее» все время остается равным 250 м. Объясните этот феномен!
в) Вычислите температуру $T$ у поверхности Земли для предыдущего пункта задачи, предположив, что ваши глаза находятся на высоте 1,6 м от поверхности. Известно, что показатель преломления воздуха $n_{0}$ при температуре $T_{0} = 15^{ \circ} С$ и нормальном атмосферном давлении равен 1,000276. Температуру воздуха на высоте, большей 1 м, считать постоянной и равной $T_{1} = 30^{ \circ} С$. Давление нормальное (0,1013 МПа). Принять, что $(n-1)$ пропорционально плотности частиц в газе.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
а) Разбиваем пластинку на большое число параллельных слоев, чаждому слою соответствует свой показатель преломления:
$n_{1}, n_{2}, n_{3}, \cdots$
Записывая закон преломления для каждой последовательной пары слоев (рис. 1), получим:
$\frac{ \sin \alpha}{ \sin \alpha_{1}} = \frac{n_{1}}{n_{A}}, \frac{ \sin \alpha_{1}}{ \sin \alpha_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}, \frac{ \sin \alpha_{2}}{ \sin \alpha_{3}} = \frac{n_{3}}{n_{2}}, \cdots ,$
откуда
$n_{A} \sin \alpha = n_{1} \sin \alpha_{1} = n_{2} \sin \alpha_{2} = n_{3} \sin \alpha_{3} = \cdots = n_{B} \sin \beta$.
б) Лучи света, идущие от неба, отражаются от околоземных слоев воздуха, имеющих большую температуру и соответственно меньший показатель преломления. При выполнении условия полного отражения виден мираж — кажущаяся «водная поверхность», отражающая небо.
При смещении наблюдателя на расстояние $\Delta S$ вся картина смещается так, что расстояние до «воды» остается одинаковым. Это видно из рис. 1. Граница «водной поверхности» представляет собой окружность с центром в точке нахождения наблюдателя.
в) Рассмотрим ход луча, который кажется нам исходящим от границы водной поверхности (рис. 2). Обозначим показатель преломления воздуха у поверхности Земли $n$, в точке наблюдения — $n_{0}$. Как было показано в п. а):
$n \sin \beta = n_{1} \sin \alpha_{r}$.
Так как $\sin \beta = \sin 90^{ \circ} = 1$, то $n_{1} \sin \alpha_{к} = n$, где $\alpha_{к}$ — критический угол, при котором наблюдатель начинает видеть «водную» поверхность.
Из формулы
$\sin \alpha = \frac{L}{ \sqrt{ l^{2} + h^{2}}}$
можно рассчитать показатель преломления воздуха $n$:
$n = \frac{L}{ \sqrt{L^{2} + h^{2}}} n_{1}$. (1)
Так как по условию задачи $n - 1 \sim \rho$, а $\rho = m/V = P_{A}M/RT$, то
$n_{0} - 1 = P_{A}M/RT_{0}$,
$n - 1 = P_{A}M/RT$,
$n_{1} - 1 = P_{A}M/RT_{1}$,
где $T_{0} = 15^{ \circ} С = 288 К, T_{1} = 30^{ \circ} С = 303 К$, а $T$ — искомая температура воздуха у поверхности Земли.
Из полученных выражений, считая атмосферное давление постоянным, находим
$n = 1 + \frac{T_{0}}{T} (n_{0} - 1)$, (2)
$n_{1} = 1 + \frac{T_{0}}{T_{1}}(n_{0} - 1)$. (3)
Подставляя в (3) числовые значения, находим: $n_{1} = 1,0002623$. Зная $n_{1}$, с помощью формулы (1) рассчитываем $n$:
$n = \frac{L}{ \sqrt{L^{2} + h^{2}}} n_{1} = 1,0002418$.
Из выражения (2) получаем формулу для расчета искомой температуры $T$:
$T = T_{0} \frac{n_{0} - 1}{n-1} = 329 К = 56^{ \circ} С$.
Можно оценить поправку, вносимую изменением давления воздуха с высотой:
$\Delta P < \rho_{1} gh = \frac{P_{A}M}{RT_{1}} gh$,
$\frac{ \Delta P}{P_{A}} < \frac{Mgh}{RT_{1}} \approx 1,8 \cdot 10^{-4}$,
Видно, что изменением давления с высотой можно пренебречь по сравнению с изменением показателя преломления воздуха.
а) На рис. показан ход луча через пло копараллельную прозрачную пластинку, коэффициент преломления которой изменяется с расстоянием $z$ от нижней поверхности пластинки. Докажите, что $n_{A} \sin \alpha = n_{B} \sin \beta$.
б) Представьте, что вы стоите посередине широкой плоской пустыни. Вдали вы видите нечто похожее на водную поверхность. Когда вы приближаетесь к «воде», она постепенно удаляется от вас, так что расстояние до «нее» все время остается равным 250 м. Объясните этот феномен!
в) Вычислите температуру $T$ у поверхности Земли для предыдущего пункта задачи, предположив, что ваши глаза находятся на высоте 1,6 м от поверхности. Известно, что показатель преломления воздуха $n_{0}$ при температуре $T_{0} = 15^{ \circ} С$ и нормальном атмосферном давлении равен 1,000276. Температуру воздуха на высоте, большей 1 м, считать постоянной и равной $T_{1} = 30^{ \circ} С$. Давление нормальное (0,1013 МПа). Принять, что $(n-1)$ пропорционально плотности частиц в газе.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
а) Разбиваем пластинку на большое число параллельных слоев, чаждому слою соответствует свой показатель преломления:
$n_{1}, n_{2}, n_{3}, \cdots$
Записывая закон преломления для каждой последовательной пары слоев (рис. 1), получим:
$\frac{ \sin \alpha}{ \sin \alpha_{1}} = \frac{n_{1}}{n_{A}}, \frac{ \sin \alpha_{1}}{ \sin \alpha_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}, \frac{ \sin \alpha_{2}}{ \sin \alpha_{3}} = \frac{n_{3}}{n_{2}}, \cdots ,$
откуда
$n_{A} \sin \alpha = n_{1} \sin \alpha_{1} = n_{2} \sin \alpha_{2} = n_{3} \sin \alpha_{3} = \cdots = n_{B} \sin \beta$.
б) Лучи света, идущие от неба, отражаются от околоземных слоев воздуха, имеющих большую температуру и соответственно меньший показатель преломления. При выполнении условия полного отражения виден мираж — кажущаяся «водная поверхность», отражающая небо.
При смещении наблюдателя на расстояние $\Delta S$ вся картина смещается так, что расстояние до «воды» остается одинаковым. Это видно из рис. 1. Граница «водной поверхности» представляет собой окружность с центром в точке нахождения наблюдателя.
в) Рассмотрим ход луча, который кажется нам исходящим от границы водной поверхности (рис. 2). Обозначим показатель преломления воздуха у поверхности Земли $n$, в точке наблюдения — $n_{0}$. Как было показано в п. а):
$n \sin \beta = n_{1} \sin \alpha_{r}$.
Так как $\sin \beta = \sin 90^{ \circ} = 1$, то $n_{1} \sin \alpha_{к} = n$, где $\alpha_{к}$ — критический угол, при котором наблюдатель начинает видеть «водную» поверхность.
Из формулы
$\sin \alpha = \frac{L}{ \sqrt{ l^{2} + h^{2}}}$
можно рассчитать показатель преломления воздуха $n$:
$n = \frac{L}{ \sqrt{L^{2} + h^{2}}} n_{1}$. (1)
Так как по условию задачи $n - 1 \sim \rho$, а $\rho = m/V = P_{A}M/RT$, то
$n_{0} - 1 = P_{A}M/RT_{0}$,
$n - 1 = P_{A}M/RT$,
$n_{1} - 1 = P_{A}M/RT_{1}$,
где $T_{0} = 15^{ \circ} С = 288 К, T_{1} = 30^{ \circ} С = 303 К$, а $T$ — искомая температура воздуха у поверхности Земли.
Из полученных выражений, считая атмосферное давление постоянным, находим
$n = 1 + \frac{T_{0}}{T} (n_{0} - 1)$, (2)
$n_{1} = 1 + \frac{T_{0}}{T_{1}}(n_{0} - 1)$. (3)
Подставляя в (3) числовые значения, находим: $n_{1} = 1,0002623$. Зная $n_{1}$, с помощью формулы (1) рассчитываем $n$:
$n = \frac{L}{ \sqrt{L^{2} + h^{2}}} n_{1} = 1,0002418$.
Из выражения (2) получаем формулу для расчета искомой температуры $T$:
$T = T_{0} \frac{n_{0} - 1}{n-1} = 329 К = 56^{ \circ} С$.
Можно оценить поправку, вносимую изменением давления воздуха с высотой:
$\Delta P < \rho_{1} gh = \frac{P_{A}M}{RT_{1}} gh$,
$\frac{ \Delta P}{P_{A}} < \frac{Mgh}{RT_{1}} \approx 1,8 \cdot 10^{-4}$,
Видно, что изменением давления с высотой можно пренебречь по сравнению с изменением показателя преломления воздуха.
