Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2421
2017-03-18 
Фотон с длиной волны $\lambda_{i}$ рассеялся на движущемся свободном электроне. В результате электрон остановился, а фотон с длиной волны $\lambda_{0}$ отклонился от направления движения первоначального фотона на угол $\theta = 60^{ \circ}$. Рассеянный фотон испытал новое рассеяние на другом неподвижном свободном электроне. В результате последнего рассеяния фотон с длиной волны $\lambda_{f} = 1,25 \cdot 10^{-10} м$ отклонился от направления движения фотона с длиной волны $\lambda_{0}$ опять на угол $\theta = 60^{ \circ}$.
Определите длину волны де Бройля электрона, взаимодействовавшего с исходным фотоном. Известны следующие величины: постоянная Планка $h=6,6 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с$, масса покоя электрона $m=9,1 \cdot 10^{-31} кг$, скорость света $c=3,0 \cdot 10^{8} м/с$.
Решение:
рис.1
рис.2
Длина волны де Бройля для электрона, взаимодействующего с исходным фотоном, равна
$\lambda_{e} = h/p_{e}$,
где $p_{e}$ — импульс электрона—связан с его кинетической энергией $E_{к}$ следующим образом:
$p_{e} = \sqrt{E_{к}(E_{к} + 2m_{0}c^{2})}/c$.
Эта формула получается из выражений, следующих из специальной теории относительности:
$\begin{cases} E_{к} = mc^{2} - m_{0}c^{2}; \\ p^{2}c^{2} = m^{2}c^{4} - m_{0}^{2}c^{4}. \end{cases}$
Кинетическую энергию электрона $E_{к}$ можно найти из закона сохранения энергии:
$m_{0}c^{2} + hc/ \lambda_{0} = mc^{2} + hc/ \lambda i$,
откуда
$E_{к} = mc^{2} - m_{0}c^{2} = hc / \lambda_{0} - hc / \lambda i$.
Итак, для определения искомой длины волны де Бройля $\lambda_{e}$ надо найти длину волны фотона $\lambda_{0}$.
Рассчитаем изменение длины волны фотона при рассеянии на неподвижном электроне, применив законы сохранения энергии и импульса:
$\begin{cases} m_{0}c^{2} + hc / \lambda_{0} = mc^{2} + hc/ \lambda_{f}, \\ p_{e^{2}}^{2} = \left ( \frac{h}{ \lambda_{0}} \right )^{2} + \left ( \frac{h}{ \lambda_{f}} \right )^{2} - 2 \frac{h^{2}}{ \lambda_{0} \lambda_{f}} \cos \theta. \end{cases}$
Проведя несложные математические преобразования, получим
$\lambda_{f} - \lambda_{0} = \frac{h}{m_{0}c} (1 - \cos \theta)$. (1)
Величина $h/m_{0}c$ называется комптоновской длиной волны. Для электрона она равна $2,4 \cdot 10^{-12} м$. Следовательно, $\lambda_{0} = \lambda_{f} - \frac{h}{m_{0}c} (1 - \cos 60^{ \circ}) = 1,24 \cdot 10^{-10} м$. Записав аналогичные уравнения для первого рассеяния (на движущемся свободном электроне), получим:
$hc/ \lambda_{0} - hc / \lambda_{f} = E_{к1}$,
$p_{e1}^{2}c^{2} = E_{к1} (E_{к1} + 2mc^{2}) = \left ( \frac{hc}{ \lambda_{0}} \right )^{2} + \left ( \frac{hc}{ \lambda_{f}} \right )^{2} - 2 \frac{h^{2}c^{2}}{ \lambda_{0} \lambda_{f}} \cos \theta$,
$p_{e1}^{2} = \left ( \frac{h}{ \lambda_{0}} \right )^{2} + \left ( \frac{h}{ \lambda_{f}} \right )^{2} - 2 \frac{h^{2}}{ \lambda_{0} \lambda_{f}} \cos \theta$,
откуда
$\lambda_{0} - \lambda_{f} = - \frac{h}{mc} (1 - \cos \theta)$. (2)
Сравнивая выражения (I) и (2), находим, что $\lambda_{i} = \lambda_{f}, p_{e1} = p_{e2}$.
Равенства $\lambda_{i} = \lambda_{f}$ и $p_{e1} = p_{e2}$ можно было бы получить сразу, заметив, что оба рассеяния фотонов на электронах—одинаковые процессы, обращенные во времени (рис. 1).
Так как кинетическая энергия электрона ($E_{к} = hc/ \lambda_{0} - hc/ \lambda_{i} = 1,6 \cdot 10^{-17} Дж \sim 100 эВ$) много меньше его энергии покоя ($m_{0}c^{2} = 8,1 \cdot 10^{-14} Дж \approx 0,5 МэВ$), то формула
$p_{e} = \frac{ \sqrt{ E_{к} (E_{к} + 2m_{0}c^{2})}}{c}$
упрощается: $p_{e} = \sqrt{2m_{0}E_{к}}$, и искомая длина волны де Бройля для электрона равна
$\lambda_{e} = \frac{h}{p_{e}} = \frac{h}{ \sqrt{2m_{0}E_{к}}} \approx 1,24 \cdot 10^{-10} м$.
Задачу можно было решить следующим простым приближенным способом. Выяснив, что $\Delta \lambda \ll \lambda_{i}$ (это следует из того, что $\Delta \lambda \approx 10^{-12} м, \lambda_{i} = 10^{-10} м$), получаем, что импульсы фотонов $p_{i}$ и $p_{0}$ приблизительно равны между собой, а так как угол между ними равен $60^{ \circ}$, то из рис. 3 видно, что импульс электрона $p_{e} = \Delta p$ равен по модулю $p_{i} = h/ \lambda_{i}$. Отсюда следует, что длина волны де Бройля электрона равна $\lambda_{e} = h/p_{e} = h/p_{i} \lambda_{i} \approx 1,25 \cdot 10^{-10} м$.
Фотон с длиной волны $\lambda_{i}$ рассеялся на движущемся свободном электроне. В результате электрон остановился, а фотон с длиной волны $\lambda_{0}$ отклонился от направления движения первоначального фотона на угол $\theta = 60^{ \circ}$. Рассеянный фотон испытал новое рассеяние на другом неподвижном свободном электроне. В результате последнего рассеяния фотон с длиной волны $\lambda_{f} = 1,25 \cdot 10^{-10} м$ отклонился от направления движения фотона с длиной волны $\lambda_{0}$ опять на угол $\theta = 60^{ \circ}$.
Определите длину волны де Бройля электрона, взаимодействовавшего с исходным фотоном. Известны следующие величины: постоянная Планка $h=6,6 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с$, масса покоя электрона $m=9,1 \cdot 10^{-31} кг$, скорость света $c=3,0 \cdot 10^{8} м/с$.
Решение:
рис.1
рис.2
Длина волны де Бройля для электрона, взаимодействующего с исходным фотоном, равна
$\lambda_{e} = h/p_{e}$,
где $p_{e}$ — импульс электрона—связан с его кинетической энергией $E_{к}$ следующим образом:
$p_{e} = \sqrt{E_{к}(E_{к} + 2m_{0}c^{2})}/c$.
Эта формула получается из выражений, следующих из специальной теории относительности:
$\begin{cases} E_{к} = mc^{2} - m_{0}c^{2}; \\ p^{2}c^{2} = m^{2}c^{4} - m_{0}^{2}c^{4}. \end{cases}$
Кинетическую энергию электрона $E_{к}$ можно найти из закона сохранения энергии:
$m_{0}c^{2} + hc/ \lambda_{0} = mc^{2} + hc/ \lambda i$,
откуда
$E_{к} = mc^{2} - m_{0}c^{2} = hc / \lambda_{0} - hc / \lambda i$.
Итак, для определения искомой длины волны де Бройля $\lambda_{e}$ надо найти длину волны фотона $\lambda_{0}$.
Рассчитаем изменение длины волны фотона при рассеянии на неподвижном электроне, применив законы сохранения энергии и импульса:
$\begin{cases} m_{0}c^{2} + hc / \lambda_{0} = mc^{2} + hc/ \lambda_{f}, \\ p_{e^{2}}^{2} = \left ( \frac{h}{ \lambda_{0}} \right )^{2} + \left ( \frac{h}{ \lambda_{f}} \right )^{2} - 2 \frac{h^{2}}{ \lambda_{0} \lambda_{f}} \cos \theta. \end{cases}$
Проведя несложные математические преобразования, получим
$\lambda_{f} - \lambda_{0} = \frac{h}{m_{0}c} (1 - \cos \theta)$. (1)
Величина $h/m_{0}c$ называется комптоновской длиной волны. Для электрона она равна $2,4 \cdot 10^{-12} м$. Следовательно, $\lambda_{0} = \lambda_{f} - \frac{h}{m_{0}c} (1 - \cos 60^{ \circ}) = 1,24 \cdot 10^{-10} м$. Записав аналогичные уравнения для первого рассеяния (на движущемся свободном электроне), получим:
$hc/ \lambda_{0} - hc / \lambda_{f} = E_{к1}$,
$p_{e1}^{2}c^{2} = E_{к1} (E_{к1} + 2mc^{2}) = \left ( \frac{hc}{ \lambda_{0}} \right )^{2} + \left ( \frac{hc}{ \lambda_{f}} \right )^{2} - 2 \frac{h^{2}c^{2}}{ \lambda_{0} \lambda_{f}} \cos \theta$,
$p_{e1}^{2} = \left ( \frac{h}{ \lambda_{0}} \right )^{2} + \left ( \frac{h}{ \lambda_{f}} \right )^{2} - 2 \frac{h^{2}}{ \lambda_{0} \lambda_{f}} \cos \theta$,
откуда
$\lambda_{0} - \lambda_{f} = - \frac{h}{mc} (1 - \cos \theta)$. (2)
Сравнивая выражения (I) и (2), находим, что $\lambda_{i} = \lambda_{f}, p_{e1} = p_{e2}$.
Равенства $\lambda_{i} = \lambda_{f}$ и $p_{e1} = p_{e2}$ можно было бы получить сразу, заметив, что оба рассеяния фотонов на электронах—одинаковые процессы, обращенные во времени (рис. 1).
Так как кинетическая энергия электрона ($E_{к} = hc/ \lambda_{0} - hc/ \lambda_{i} = 1,6 \cdot 10^{-17} Дж \sim 100 эВ$) много меньше его энергии покоя ($m_{0}c^{2} = 8,1 \cdot 10^{-14} Дж \approx 0,5 МэВ$), то формула
$p_{e} = \frac{ \sqrt{ E_{к} (E_{к} + 2m_{0}c^{2})}}{c}$
упрощается: $p_{e} = \sqrt{2m_{0}E_{к}}$, и искомая длина волны де Бройля для электрона равна
$\lambda_{e} = \frac{h}{p_{e}} = \frac{h}{ \sqrt{2m_{0}E_{к}}} \approx 1,24 \cdot 10^{-10} м$.
Задачу можно было решить следующим простым приближенным способом. Выяснив, что $\Delta \lambda \ll \lambda_{i}$ (это следует из того, что $\Delta \lambda \approx 10^{-12} м, \lambda_{i} = 10^{-10} м$), получаем, что импульсы фотонов $p_{i}$ и $p_{0}$ приблизительно равны между собой, а так как угол между ними равен $60^{ \circ}$, то из рис. 3 видно, что импульс электрона $p_{e} = \Delta p$ равен по модулю $p_{i} = h/ \lambda_{i}$. Отсюда следует, что длина волны де Бройля электрона равна $\lambda_{e} = h/p_{e} = h/p_{i} \lambda_{i} \approx 1,25 \cdot 10^{-10} м$.
