Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2420
2017-03-18 
Две призмы с преломляющими углами $\hat{A}_{1} = 60^{ \circ}, \hat{A}_{2} = 30^{ \circ}$ склеены так, как показано на рис. (угол $\hat{C} = 90^{ \circ}$). Показатели преломления призм выражаются соотношениями:
$n_{1} = a_{1} + b_{1}/ \lambda^{2}$,
$n_{2} = a_{2} + b_{2}/ \lambda^{2}$,
где $a_{1} = 1,1, b_{1} = 10^{5} нм^{2}, a_{2} = 1,3, b_{2} = 5 \cdot 10^{4} нм^{2}$.
1) Определите длину волны $\lambda$ излучения, падающего на систему призм, если волна распространяется без преломления на границе АС при любом угле падения ее на грань АD. Определите также значения показателей преломления $n_{1}$ и $n_{2}$ для этой длины волны.
2) Нарисуйте ход лучей в системе призм для трех различных длин волн $\lambda_{кр} > \lambda_{0}, \lambda_{0}, \lambda_{ф} < \lambda_{0}$, если угол падения для всех трех волн на грань АD одинаков.
3) Определите угол наименьшего отклонения системой призм света с длиной волны $\lambda_{0}$.
4) Определите длину волны излучения, падающего на систему призм параллельно основанию DС и выходящего из Нее также параллельно основанию DС.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
1) Для того чтобы пучок света с длиной волны $\lambda_{0}$ не преломлялся на границе АС при любом угле падения на грань АD, показатели преломления должны быть равны: $n_{1}=n_{2}$, следовательно,
$a_{1} + b_{1}/ \lambda_{0}^{2} = a_{2} + b_{2}/ \lambda_{0}^{2}, \lambda_{0} = \sqrt{ \frac{b_{1} - b_{2}}{a_{2} - a_{1}}} = 500 нм$.
При этом
$n_{1} = n_{2} = n_{0} = a_{1} + b_{1}/ \lambda_{0}^{2} = 1,5$.
2) Приняв длину волны красного цвета $\lambda_{кр} = 800 нм$, а фиолетового $\lambda_{ф} = 400 нм$, получим:
$n_{1кр} = a_{1} + b_{1}/ \lambda_{кр} =1,26, n_{2кр} = a_{2} + b_{2}/ \lambda_{кр} = 1,38$.
Аналогично найдем
$n_{1ф} = 1,73, n_{2ф} = 1,61$.
То есть показатель преломления второй призмы для красного цвета больше, чем для первой, а для фиолетовой — наоборот. Учтя это, нарисуем качественно ход лучей в призме (рис. 1).
3) При длине волны падающего света, для которой выполняется условие $n_{1} = n_{2}$, две призмы эквивалентны одной призме с преломляющим углом $A_{0} = 30^{ \circ}$.
Легко видеть, что угол отклонения луча $\theta$ такой призмой будет минимальным, если угол, под которым луч падает на переднюю грань призмы (AD), равен углу, под которым он выходит из задней грани (ВС) (рис. 2), т. е.
$n_{0} = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \gamma} = \frac{ \sin ( \hat{A}_{0} + \theta_{min})/2}{ \in (\hat{A}_{0})/2}$,
$\theta_{min} = 2 arcsin [ n_{0} \sin ( \hat{A}_{0} / 2)] - \hat{A}_{0} = 15^{ \circ} 40^{ \prime}$.
4) Ha рис. 3 показан ходлуча, удовлетворяющего условиям задачи. Запишем законы преломления для этого луча:
$\frac{ \sin 30^{ \circ}}{ \sin \beta} = n_{1}; \frac{ \sin(60^{ \circ} - \beta)}{ \sin 30^{ \circ}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$.
Подставляя выражения для показателей преломления, данные по условию задачи: $n_{1} = a_{1} + b_{1} / \lambda^{2}, n_{2} = a_{2} + b_{2}/ \lambda^{2}$, получаем уравнение
$\lambda^{4} (3a_{1}^{2} - a_{2}^{2} - a_{2} - 1) + \lambda^{2} (6a_{1}b_{1} - 2a_{2}b_{2} - b_{2}) + (3b_{1}^{2} - b_{2}) = 0$,
$0,36 \lambda^{4} - 4,8 \cdot 10^{5} \lambda^{2} - 2,75 \cdot 10^{10} = 0$.
Решение этого биквадратного уравнения дает ответ задачи: $\lambda \approx 1200 нм$.
Две призмы с преломляющими углами $\hat{A}_{1} = 60^{ \circ}, \hat{A}_{2} = 30^{ \circ}$ склеены так, как показано на рис. (угол $\hat{C} = 90^{ \circ}$). Показатели преломления призм выражаются соотношениями:
$n_{1} = a_{1} + b_{1}/ \lambda^{2}$,
$n_{2} = a_{2} + b_{2}/ \lambda^{2}$,
где $a_{1} = 1,1, b_{1} = 10^{5} нм^{2}, a_{2} = 1,3, b_{2} = 5 \cdot 10^{4} нм^{2}$.
1) Определите длину волны $\lambda$ излучения, падающего на систему призм, если волна распространяется без преломления на границе АС при любом угле падения ее на грань АD. Определите также значения показателей преломления $n_{1}$ и $n_{2}$ для этой длины волны.
2) Нарисуйте ход лучей в системе призм для трех различных длин волн $\lambda_{кр} > \lambda_{0}, \lambda_{0}, \lambda_{ф} < \lambda_{0}$, если угол падения для всех трех волн на грань АD одинаков.
3) Определите угол наименьшего отклонения системой призм света с длиной волны $\lambda_{0}$.
4) Определите длину волны излучения, падающего на систему призм параллельно основанию DС и выходящего из Нее также параллельно основанию DС.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
1) Для того чтобы пучок света с длиной волны $\lambda_{0}$ не преломлялся на границе АС при любом угле падения на грань АD, показатели преломления должны быть равны: $n_{1}=n_{2}$, следовательно,
$a_{1} + b_{1}/ \lambda_{0}^{2} = a_{2} + b_{2}/ \lambda_{0}^{2}, \lambda_{0} = \sqrt{ \frac{b_{1} - b_{2}}{a_{2} - a_{1}}} = 500 нм$.
При этом
$n_{1} = n_{2} = n_{0} = a_{1} + b_{1}/ \lambda_{0}^{2} = 1,5$.
2) Приняв длину волны красного цвета $\lambda_{кр} = 800 нм$, а фиолетового $\lambda_{ф} = 400 нм$, получим:
$n_{1кр} = a_{1} + b_{1}/ \lambda_{кр} =1,26, n_{2кр} = a_{2} + b_{2}/ \lambda_{кр} = 1,38$.
Аналогично найдем
$n_{1ф} = 1,73, n_{2ф} = 1,61$.
То есть показатель преломления второй призмы для красного цвета больше, чем для первой, а для фиолетовой — наоборот. Учтя это, нарисуем качественно ход лучей в призме (рис. 1).
3) При длине волны падающего света, для которой выполняется условие $n_{1} = n_{2}$, две призмы эквивалентны одной призме с преломляющим углом $A_{0} = 30^{ \circ}$.
Легко видеть, что угол отклонения луча $\theta$ такой призмой будет минимальным, если угол, под которым луч падает на переднюю грань призмы (AD), равен углу, под которым он выходит из задней грани (ВС) (рис. 2), т. е.
$n_{0} = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \gamma} = \frac{ \sin ( \hat{A}_{0} + \theta_{min})/2}{ \in (\hat{A}_{0})/2}$,
$\theta_{min} = 2 arcsin [ n_{0} \sin ( \hat{A}_{0} / 2)] - \hat{A}_{0} = 15^{ \circ} 40^{ \prime}$.
4) Ha рис. 3 показан ходлуча, удовлетворяющего условиям задачи. Запишем законы преломления для этого луча:
$\frac{ \sin 30^{ \circ}}{ \sin \beta} = n_{1}; \frac{ \sin(60^{ \circ} - \beta)}{ \sin 30^{ \circ}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$.
Подставляя выражения для показателей преломления, данные по условию задачи: $n_{1} = a_{1} + b_{1} / \lambda^{2}, n_{2} = a_{2} + b_{2}/ \lambda^{2}$, получаем уравнение
$\lambda^{4} (3a_{1}^{2} - a_{2}^{2} - a_{2} - 1) + \lambda^{2} (6a_{1}b_{1} - 2a_{2}b_{2} - b_{2}) + (3b_{1}^{2} - b_{2}) = 0$,
$0,36 \lambda^{4} - 4,8 \cdot 10^{5} \lambda^{2} - 2,75 \cdot 10^{10} = 0$.
Решение этого биквадратного уравнения дает ответ задачи: $\lambda \approx 1200 нм$.
