Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2419
2017-03-18 
Цепь переменного тока (рис.) состоит из идеальных катушек индуктивностью $L_{1} = 10 мГн, L_{2} = 20 мГн$, конденсаторов емкостью $C_{1} = 10 нФ, C_{2} = 5 нФ$ и резистора с сопротивлением $R = 100 кОм$. При замкнутой цепи амплитуда силы переменного тока остается постоянной при изменении частоты генератора синусоидального напряжения. (Генератор тока с постоянной амплитудой.)
Определите:
а) отношение частоты $\nu_{М}$, при которой активная мощность $P_{max}$, выделяемая в цепи, максимальна, к разности частот $\Delta \nu = \nu_{+} - \nu_{-}$, где $\nu_{+}$ и $\nu_{-}$ — частоты, при которых активная мощность равна половине максимальной мощности $P_{max}$.
Цепь размыкается. Известно, что в момент времени и после размыкания цепи силы тока в катушках $L_{1}$ и $L_{2}$ имеют значения: $i_{01}=0,1 А$ и $i_{02}=0,2 А$ (см. рис., где показаны направления токов), а напряжение на конденсаторе $C_{1}$ равно $U_{0}=40 В$.
Определите:
б) частоту свободных электромагнитных колебаний в цепи $L_{1} C_{1} C_{2} L_{2}$;
в) силу тока на участке контура АВ;
г) амплитуду колебаний силы тока в катушке $L_{1}$.
Указание. Взаимной индукцией катушек $L_{1}$ и $L_{2}$ пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
1) Вычислим силу тока $i$, протекающего через источник тока, воспользовавшись методом векторных диаграмм (рис. 1):
$I = \sqrt{ I_{R}^{2} + (I_{L_{1}} + I_{L_{2}} - I_{C_{1}} - I_{C_{2}})^{2})} = U \sqrt{ \frac{1}{R^{2}} + \left ( \frac{1}{ \omega L_{1}} + \frac{1}{ \omega L_{2}} - \omega C_{1} - \omega C_{2} \right )^{2}}$.
По условию задачи амплитуда этого тока поддерживается постоянной при любой частоте генератора: $I = I_{0}.$
Введя эквивалентную индуктивность двух параллельно соединенных катушек $\frac{1}{L} = \frac{1}{L_{1}} + \frac{1}{L_{2}}$ и эквивалентную емкость двух параллельно соединенных конденсаторов $C = C_{1} + C_{2}$, получим
$U = \frac{I_{0}R}{ \sqrt{1 + R^{2} (1/ \omega L - \omega C)^{2}}}$.
Средняя активная мощность $P$ за период равна
$P = \frac{U^{2}}{2R} = \frac{I_{0}^{2}}{2} \frac{1}{1 + R^{2}(1 / \omega L - \omega C)^{2}}$.
Отсюда ясно, что активная мощность, передаваемая цепи от источника тока, максимальна при выполнении условия:
$\frac{1}{ \omega_{M}L} - \omega_{M}C = 0$,
$\omega_{M} = \frac{1}{ \sqrt{LC}} = \frac{1}{ \sqrt{ \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}} (C_{1} + C_{2})}} = 10^{5} рад/с$.
Условие, при котором активная мощность $P ( \omega_{ \pm})$ равна половине максимальной мощности $P_{max}$:
$P( \omega_{ \pm}) = P_{max}/2$ (рис. 2),
можно записать в виде:
$R^{2} \left ( \frac{1}{ \omega L} - \omega C \right )^{2} = 1$.
Отсюда получаем уравнение
$\omega^{4} - \omega^{2} \left ( \frac{2}{LC} + \frac{1}{R^{2}C^{2}} \right ) + \frac{1}{L^{2}C^{2}} = 0$.
Согласно теореме Виета
$\begin{cases} \omega_{+}^{2} + \omega_{-}^{2} = \frac{2}{LC} + \frac{1}{L^{2}C^{2}}, \\ \omega_{+}^{2} \omega_{-}^{2} = \frac{1}{L^{2}C^{2}} \Rightarrow \omega_{+} \omega_{-} = \frac{1}{LC}; \end{cases}$
$\Delta \omega = \omega_{+} - \omega_{-} = \sqrt{ ( \omega_{+} - \omega_{-})^{2}} = \sqrt{ \omega_{+}^{2} + \omega_{-}^{2} - 2 \omega_{+} \omega_{-}} = \sqrt{ \frac{2}{LC} + \frac{1}{R^{2}C^{2}} - \frac{2}{LC}} = \frac{1}{RC}$.
Следовательно, искомое значение отношения $\nu_{M}/ \Delta \nu$ равно
$\frac{ \nu_{M}}{ \Delta \nu} = \frac{ \omega_{M}}{ \Delta \omega} = \frac{1 \cdot RC}{ \sqrt{LC}} = R \sqrt{ \frac{C}{L}} = R \sqrt{ \frac{(C_{1}+C_{2})(L_{1} + L_{2})}{L_{1}L_{2}}} = 150$.
б) Представив контур $L_{1}C_{1}C_{2}L_{2}$ в виде эквивалентного контура $LC$, где
$L = \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}}, C = C_{1} + C_{2}$.
получим, что частота свободных электромагнитных колебаний в нем равна
$\nu_{0} = \frac{1}{ 2 \pi \sqrt{LC}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{ (C_{1} + C_{2}) \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}}}} =15,9 кГц$.
Этот же результат можно получить, используя п. а): максимальная активная мощность выделяется при совпадении частоты $\nu_{M}$ колебаний приложенного напряжения с собственной частотой колебаний. Заметим, что, так как $L_{1}C_{1} = L_{2}C_{2} (10 мГн \cdot 10 нФ = 20 мГн \cdot 5 нФ$), то частоты свободных колебаний контуров $L_{1}C_{1}$ и $L_{2}C_{2}$ совпадают:
$\nu_{1} = \nu_{2} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{1}C_{1}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{2}C_{2}}}$,
т. е. колебания в них происходят независимо друг от друга.
Вместе с тем этот факт не препятствует существованию кольцевого тока $I$, который может без затухания течь через катушки $L_{1}$ и $L_{2}$. Причиной его возникновения могло быть, например, изменение внешнего магнитного поля.
в) Если ток на участке цепи АВ существует, то он как раз и является постоянным кольцевым током $I_{AB}$, протекающим через катушки $L_{1}$ и $L_{2}$. Для постоянного тока достаточно найти одно значение в момент времени $t_{0}$.
Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 3. Из первого закона Кирхгофа следует, что
$I_{AB} = i_{01} + i_{C_{1}} = - i_{C_{2}} - i_{02}, i_{C_{1}} + i_{C_{2}} = - (i_{01} + i_{02})$.
Учтя, что
$i_{C_{1}} = \frac{dQ}{dt} = C_{1} \frac{dU}{dt}, i_{C_{2}} = C_{2} \frac{dU}{dt}$,
получим
$i_{C_{1}} / i_{C_{2}} = C_{1}/C_{2}$,
$i_{C_{1}} = (i_{C_{1}} + i_{C_{2}}) \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} = - (i_{01} + i_{02}) = \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}}$,
$I_{AB} = i_{01} + i_{C_{1}} = i_{01} - (i_{01} + i_{02}) \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}}$,
$I_{AB} = - 0,1 А$.
Следовательно, ток течет от точки В к точке А и равен $I_{BA} = 0,1 А$.
г) Поскольку колебания в контурах $L_{1}C_{1}$ и $L_{2}C_{2}$ не зависят друг от друга, вычислим амплитуду колебаний силы тока $I_{01}$ в катушке $L_{1}$, применив закон сохранения энергии к первому контуру для момента времени $t_{0}$.
Учтем также, что вследствие линейности уравнений $U(t), I(t), Q(t)$ колебания не зависят и от наличия кольцевого тока $I_{AB}$ в цепи $L_{1}L_{2}$, нужно только вычесть его из $i_{01}$, чтобы получить мгновенное значение колебания силы тока $i_{1}$ в катушке $L_{1}$:
$i_{1} = i_{01} - I_{AB}, \frac{L_{1}I_{01}^{2}}{2} = \frac{L_{1}}{2} (i_{01} - I_{AB})^{2} + \frac{C_{1}U_{0}^{2}}{2}$.
Отсюда для амплитуды колебаний силы тока в катушке $L_{1}$ получаем
$I_{01} = \sqrt{(i_{01} - I_{AB})^{2} + \frac{C_{1}}{L_{1}} U_{0}^{2}} \approx 0,204 А$.
Цепь переменного тока (рис.) состоит из идеальных катушек индуктивностью $L_{1} = 10 мГн, L_{2} = 20 мГн$, конденсаторов емкостью $C_{1} = 10 нФ, C_{2} = 5 нФ$ и резистора с сопротивлением $R = 100 кОм$. При замкнутой цепи амплитуда силы переменного тока остается постоянной при изменении частоты генератора синусоидального напряжения. (Генератор тока с постоянной амплитудой.)
Определите:
а) отношение частоты $\nu_{М}$, при которой активная мощность $P_{max}$, выделяемая в цепи, максимальна, к разности частот $\Delta \nu = \nu_{+} - \nu_{-}$, где $\nu_{+}$ и $\nu_{-}$ — частоты, при которых активная мощность равна половине максимальной мощности $P_{max}$.
Цепь размыкается. Известно, что в момент времени и после размыкания цепи силы тока в катушках $L_{1}$ и $L_{2}$ имеют значения: $i_{01}=0,1 А$ и $i_{02}=0,2 А$ (см. рис., где показаны направления токов), а напряжение на конденсаторе $C_{1}$ равно $U_{0}=40 В$.
Определите:
б) частоту свободных электромагнитных колебаний в цепи $L_{1} C_{1} C_{2} L_{2}$;
в) силу тока на участке контура АВ;
г) амплитуду колебаний силы тока в катушке $L_{1}$.
Указание. Взаимной индукцией катушек $L_{1}$ и $L_{2}$ пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
1) Вычислим силу тока $i$, протекающего через источник тока, воспользовавшись методом векторных диаграмм (рис. 1):
$I = \sqrt{ I_{R}^{2} + (I_{L_{1}} + I_{L_{2}} - I_{C_{1}} - I_{C_{2}})^{2})} = U \sqrt{ \frac{1}{R^{2}} + \left ( \frac{1}{ \omega L_{1}} + \frac{1}{ \omega L_{2}} - \omega C_{1} - \omega C_{2} \right )^{2}}$.
По условию задачи амплитуда этого тока поддерживается постоянной при любой частоте генератора: $I = I_{0}.$
Введя эквивалентную индуктивность двух параллельно соединенных катушек $\frac{1}{L} = \frac{1}{L_{1}} + \frac{1}{L_{2}}$ и эквивалентную емкость двух параллельно соединенных конденсаторов $C = C_{1} + C_{2}$, получим
$U = \frac{I_{0}R}{ \sqrt{1 + R^{2} (1/ \omega L - \omega C)^{2}}}$.
Средняя активная мощность $P$ за период равна
$P = \frac{U^{2}}{2R} = \frac{I_{0}^{2}}{2} \frac{1}{1 + R^{2}(1 / \omega L - \omega C)^{2}}$.
Отсюда ясно, что активная мощность, передаваемая цепи от источника тока, максимальна при выполнении условия:
$\frac{1}{ \omega_{M}L} - \omega_{M}C = 0$,
$\omega_{M} = \frac{1}{ \sqrt{LC}} = \frac{1}{ \sqrt{ \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}} (C_{1} + C_{2})}} = 10^{5} рад/с$.
Условие, при котором активная мощность $P ( \omega_{ \pm})$ равна половине максимальной мощности $P_{max}$:
$P( \omega_{ \pm}) = P_{max}/2$ (рис. 2),
можно записать в виде:
$R^{2} \left ( \frac{1}{ \omega L} - \omega C \right )^{2} = 1$.
Отсюда получаем уравнение
$\omega^{4} - \omega^{2} \left ( \frac{2}{LC} + \frac{1}{R^{2}C^{2}} \right ) + \frac{1}{L^{2}C^{2}} = 0$.
Согласно теореме Виета
$\begin{cases} \omega_{+}^{2} + \omega_{-}^{2} = \frac{2}{LC} + \frac{1}{L^{2}C^{2}}, \\ \omega_{+}^{2} \omega_{-}^{2} = \frac{1}{L^{2}C^{2}} \Rightarrow \omega_{+} \omega_{-} = \frac{1}{LC}; \end{cases}$
$\Delta \omega = \omega_{+} - \omega_{-} = \sqrt{ ( \omega_{+} - \omega_{-})^{2}} = \sqrt{ \omega_{+}^{2} + \omega_{-}^{2} - 2 \omega_{+} \omega_{-}} = \sqrt{ \frac{2}{LC} + \frac{1}{R^{2}C^{2}} - \frac{2}{LC}} = \frac{1}{RC}$.
Следовательно, искомое значение отношения $\nu_{M}/ \Delta \nu$ равно
$\frac{ \nu_{M}}{ \Delta \nu} = \frac{ \omega_{M}}{ \Delta \omega} = \frac{1 \cdot RC}{ \sqrt{LC}} = R \sqrt{ \frac{C}{L}} = R \sqrt{ \frac{(C_{1}+C_{2})(L_{1} + L_{2})}{L_{1}L_{2}}} = 150$.
б) Представив контур $L_{1}C_{1}C_{2}L_{2}$ в виде эквивалентного контура $LC$, где
$L = \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}}, C = C_{1} + C_{2}$.
получим, что частота свободных электромагнитных колебаний в нем равна
$\nu_{0} = \frac{1}{ 2 \pi \sqrt{LC}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{ (C_{1} + C_{2}) \frac{L_{1}L_{2}}{L_{1} + L_{2}}}} =15,9 кГц$.
Этот же результат можно получить, используя п. а): максимальная активная мощность выделяется при совпадении частоты $\nu_{M}$ колебаний приложенного напряжения с собственной частотой колебаний. Заметим, что, так как $L_{1}C_{1} = L_{2}C_{2} (10 мГн \cdot 10 нФ = 20 мГн \cdot 5 нФ$), то частоты свободных колебаний контуров $L_{1}C_{1}$ и $L_{2}C_{2}$ совпадают:
$\nu_{1} = \nu_{2} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{1}C_{1}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{2}C_{2}}}$,
т. е. колебания в них происходят независимо друг от друга.
Вместе с тем этот факт не препятствует существованию кольцевого тока $I$, который может без затухания течь через катушки $L_{1}$ и $L_{2}$. Причиной его возникновения могло быть, например, изменение внешнего магнитного поля.
в) Если ток на участке цепи АВ существует, то он как раз и является постоянным кольцевым током $I_{AB}$, протекающим через катушки $L_{1}$ и $L_{2}$. Для постоянного тока достаточно найти одно значение в момент времени $t_{0}$.
Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 3. Из первого закона Кирхгофа следует, что
$I_{AB} = i_{01} + i_{C_{1}} = - i_{C_{2}} - i_{02}, i_{C_{1}} + i_{C_{2}} = - (i_{01} + i_{02})$.
Учтя, что
$i_{C_{1}} = \frac{dQ}{dt} = C_{1} \frac{dU}{dt}, i_{C_{2}} = C_{2} \frac{dU}{dt}$,
получим
$i_{C_{1}} / i_{C_{2}} = C_{1}/C_{2}$,
$i_{C_{1}} = (i_{C_{1}} + i_{C_{2}}) \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} = - (i_{01} + i_{02}) = \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}}$,
$I_{AB} = i_{01} + i_{C_{1}} = i_{01} - (i_{01} + i_{02}) \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}}$,
$I_{AB} = - 0,1 А$.
Следовательно, ток течет от точки В к точке А и равен $I_{BA} = 0,1 А$.
г) Поскольку колебания в контурах $L_{1}C_{1}$ и $L_{2}C_{2}$ не зависят друг от друга, вычислим амплитуду колебаний силы тока $I_{01}$ в катушке $L_{1}$, применив закон сохранения энергии к первому контуру для момента времени $t_{0}$.
Учтем также, что вследствие линейности уравнений $U(t), I(t), Q(t)$ колебания не зависят и от наличия кольцевого тока $I_{AB}$ в цепи $L_{1}L_{2}$, нужно только вычесть его из $i_{01}$, чтобы получить мгновенное значение колебания силы тока $i_{1}$ в катушке $L_{1}$:
$i_{1} = i_{01} - I_{AB}, \frac{L_{1}I_{01}^{2}}{2} = \frac{L_{1}}{2} (i_{01} - I_{AB})^{2} + \frac{C_{1}U_{0}^{2}}{2}$.
Отсюда для амплитуды колебаний силы тока в катушке $L_{1}$ получаем
$I_{01} = \sqrt{(i_{01} - I_{AB})^{2} + \frac{C_{1}}{L_{1}} U_{0}^{2}} \approx 0,204 А$.
