Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 2417
2017-03-18 
Дан воздушный шар с постоянным объемом $V = 1,10 м^{3}$. Масса оболочки (объемом оболочки пренебречь) составляет $m_{0}=0,187 кг$. Шар должен стартовать при окружающей температуре воздуха $t_{1} = 20^{ \circ} С$ и нормальном атмосферном давлении $P_{0} = 1,013 \cdot 10^{6} Па$. Плотность воздуха при этих условиях имеет следующее значение: $\rho_{1} = 1,2 кг/м^{3}$.
а) Вычислите температуру $t_{2}$, которую должен иметь нагретый воздух внутри шара, чтобы он мог свободно парить в воздухе.
б) Воздух внутри привязанного на тросе шара нагревается до постоянной температуры $t_{3}=110^{ \circ} С$. Вычислите силу действующую на трос.
в) Примем, что отверстие снизу шара завязано (плотность воздуха в нем остается тогда постоянной). Шар поднимается с постоянной температурой внутреннего воздуха $t_{3}=110^{ \circ} С$ в изотермической атмосфере при $20^{ \circ} С$ и давлении на уровне Земли $P_{0}=1,013 \cdot 10^{5} Па$. Какой высоты $h$ достигнет шар при этих условиях?
г) Шар, находящийся на высоте $h$ (вопрос в)), смещается на высоту, приблизительно равную $\Delta = 10 м$, из положения равновесия и затем отпускается. Опишите качественнее как он движется.
Решение:
а) Условие равновесия шара в воздухе запишем в виде
$F_{A} = F_{т}$.
где $F_{A}$ — архимедова сила, равная $F_{A} = \rho_{1} Vg$, а $F_{т}$ — сила тяжести шара с воздухом: $F_{т} = \rho_{2} Vg + m_{0}g$ ($\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ — плотности окружающего воздуха при температуре $T_{1}$ и воздуха в шаре при температуре $T_{2}$).
Тогда условие равновесия шара в воздухе можно записать как
$\rho_{1} Vg = \rho_{2} Vg + m_{0}g$,
откуда
$m{0} = ( \rho_{1} - \rho_{2})V$. (1)
Из уравнения газового состояния:
$PV = \frac{m}{M}RT, P = \frac{ \rho}{M} RT$
следует, что
$\rho_{1} = PM/RT_{1}, \rho_{2} = PM/RT_{2}$.
Отсюда
$\rho_{1} / \rho_{2} = T_{2}/T_{1}$. (2)
Из выражений (1) и (2) получаем
$T_{2} = \frac{T_{1}}{1 - m_{0}/ \rho V}$. (3)
Подстановка числовых данных приводит к результату: $T_{2} = 341 К$, или $t_{2} = 68^{ \circ} С$.
б) Если воздух в шаре нагреть до температуры $T_{3} = 383 К$, то новое значение силы тяжести шара $F_{т}^{ \prime}$ равно
$F_{т}^{ \prime} = m_{0}g + \rho_{3} Vg$.
Для удержания шара в положении равновесия необходимо, чтобы сила $F$, действующая на трос, привязанный к шару, была равна
$F = F_{A} - F_{т}^{ \prime} = \rho_{1} Vg - (m_{0} + \rho_{3} Vg) = [( \rho_{1} - \rho_{3})V - m_{0}]g$. (4)
Аналогично выражению (2) записываем
$\rho_{1}/ \rho_{3} = T_{3}/ T_{1}$. (5)
Из выражений (4) и (5) получаем
$F = [ \rho_{1} (1 - T_{1}/T_{3})V - m_{0}]g = l,2H$. (6)
в) Из условия равновесия шара на искомой высоте $h$ получаем
$F_{A}^{ \prime} = F_{т}^{ \prime}, \rho_{h}Vg = m_{0}g + \rho_{3} Vg, \rho_{h} = \frac{m_{0} + \rho_{3}V}{V}$. (7)
где $\rho_{h}$ — плотность воздуха на высоте $h$.
С другой стороны, плотности воздуха $\rho_{h}$ и $\rho_{1}$ в изотермической атмосфере связаны барометрической формулой:
$\rho_{h} = \rho_{1} e^{ - \rho_{1} g h/P_{0}}$, (8)
откуда получим
$h = \frac{P_{0}}{ \rho_{1} g} ln \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{h}}$,
а с учетом выражений (5) и (7) запишем:
$h = \frac{P_{0}}{ \rho_{1} g} ln \frac{ \rho_{1}V}{m_{0} + \rho_{3} V} = \frac{P_{0}}{ \rho_{1} g} ln \frac{ \rho_{1}V}{ m_{0} + \rho_{1} T_{1} V/T_{2}}$. (9)
Подстановка числовых значений приводит к результату: $h \approx 843 м$.
г) При небольшой разности высот $\Delta h = 10 м$ по сравнению с высотой $h=843 м$ барометрическую формулу (8) можно представить в виде линейной функции:
$\rho_{h+ \Delta h} = \rho_{1} e^{ - \rho_{1} g ( h + \Delta h) / P_{0}} = \rho_{h} e^{ - \rho_{1} g \Delta h/P_{0}} \approx \rho_{h} (1 - \rho_{1} g \Delta h / P_{0}) $.
Следовательно, для шара, у которого отверстие закрыто, архимедова сила, действующая на него, равна
$F_{A} = \rho_{h + \Delta h} Vg$.
Изменение этой силы при малых изменениях высоты $\Delta h$ нетрудно рассчитать:
$\frac{ \Delta F_{A}}{ \Delta h} = - \frac{ \rho_{h} \rho_{1} g}{P_{0}} Vg$,
откуда
$\Delta F_{A} = - \frac{ \rho_{h} \rho_{1} g^{2}}{P_{0}} V \Delta h$.
Так как сила, действующая на шар, прямо пропорциональна смещению шара, то он совершает гармонические колебания, период которых равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{(m_{0} + \rho_{3} V)P_{0}}{ \rho_{h} \rho_{1} g^{2} V}} = \frac{2 \pi}{g} \sqrt{ \frac{(m_{0} + \rho_{3} V)P_{0}}{(m_{0} + \rho_{3} V) \rho_{1}}} = \frac{2 \pi}{g} \sqrt{ \frac{P_{0}}{ \rho_{1}}} \approx 186 с \approx 3 мин$.
При получении этого результата мы не учитывали сопротивление воздуха, которое, с одной стороны, приведет к тому, что колебания будут затухающими, а с другой стороны, период реальных колебаний будет несколько больше рассчитанного.
Отметим, что в связи с большим периодом колебаний шара (3 мин.) указанные поправки к полученному значению будут незначительными, так как сила сопротивления, зависящая от скорости, будет невелика.
Примечание. При решении этой части задачи мы не учитывали эффекта «присоединенной массы» воздуха.
Дан воздушный шар с постоянным объемом $V = 1,10 м^{3}$. Масса оболочки (объемом оболочки пренебречь) составляет $m_{0}=0,187 кг$. Шар должен стартовать при окружающей температуре воздуха $t_{1} = 20^{ \circ} С$ и нормальном атмосферном давлении $P_{0} = 1,013 \cdot 10^{6} Па$. Плотность воздуха при этих условиях имеет следующее значение: $\rho_{1} = 1,2 кг/м^{3}$.
а) Вычислите температуру $t_{2}$, которую должен иметь нагретый воздух внутри шара, чтобы он мог свободно парить в воздухе.
б) Воздух внутри привязанного на тросе шара нагревается до постоянной температуры $t_{3}=110^{ \circ} С$. Вычислите силу действующую на трос.
в) Примем, что отверстие снизу шара завязано (плотность воздуха в нем остается тогда постоянной). Шар поднимается с постоянной температурой внутреннего воздуха $t_{3}=110^{ \circ} С$ в изотермической атмосфере при $20^{ \circ} С$ и давлении на уровне Земли $P_{0}=1,013 \cdot 10^{5} Па$. Какой высоты $h$ достигнет шар при этих условиях?
г) Шар, находящийся на высоте $h$ (вопрос в)), смещается на высоту, приблизительно равную $\Delta = 10 м$, из положения равновесия и затем отпускается. Опишите качественнее как он движется.
Решение:
а) Условие равновесия шара в воздухе запишем в виде
$F_{A} = F_{т}$.
где $F_{A}$ — архимедова сила, равная $F_{A} = \rho_{1} Vg$, а $F_{т}$ — сила тяжести шара с воздухом: $F_{т} = \rho_{2} Vg + m_{0}g$ ($\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ — плотности окружающего воздуха при температуре $T_{1}$ и воздуха в шаре при температуре $T_{2}$).
Тогда условие равновесия шара в воздухе можно записать как
$\rho_{1} Vg = \rho_{2} Vg + m_{0}g$,
откуда
$m{0} = ( \rho_{1} - \rho_{2})V$. (1)
Из уравнения газового состояния:
$PV = \frac{m}{M}RT, P = \frac{ \rho}{M} RT$
следует, что
$\rho_{1} = PM/RT_{1}, \rho_{2} = PM/RT_{2}$.
Отсюда
$\rho_{1} / \rho_{2} = T_{2}/T_{1}$. (2)
Из выражений (1) и (2) получаем
$T_{2} = \frac{T_{1}}{1 - m_{0}/ \rho V}$. (3)
Подстановка числовых данных приводит к результату: $T_{2} = 341 К$, или $t_{2} = 68^{ \circ} С$.
б) Если воздух в шаре нагреть до температуры $T_{3} = 383 К$, то новое значение силы тяжести шара $F_{т}^{ \prime}$ равно
$F_{т}^{ \prime} = m_{0}g + \rho_{3} Vg$.
Для удержания шара в положении равновесия необходимо, чтобы сила $F$, действующая на трос, привязанный к шару, была равна
$F = F_{A} - F_{т}^{ \prime} = \rho_{1} Vg - (m_{0} + \rho_{3} Vg) = [( \rho_{1} - \rho_{3})V - m_{0}]g$. (4)
Аналогично выражению (2) записываем
$\rho_{1}/ \rho_{3} = T_{3}/ T_{1}$. (5)
Из выражений (4) и (5) получаем
$F = [ \rho_{1} (1 - T_{1}/T_{3})V - m_{0}]g = l,2H$. (6)
в) Из условия равновесия шара на искомой высоте $h$ получаем
$F_{A}^{ \prime} = F_{т}^{ \prime}, \rho_{h}Vg = m_{0}g + \rho_{3} Vg, \rho_{h} = \frac{m_{0} + \rho_{3}V}{V}$. (7)
где $\rho_{h}$ — плотность воздуха на высоте $h$.
С другой стороны, плотности воздуха $\rho_{h}$ и $\rho_{1}$ в изотермической атмосфере связаны барометрической формулой:
$\rho_{h} = \rho_{1} e^{ - \rho_{1} g h/P_{0}}$, (8)
откуда получим
$h = \frac{P_{0}}{ \rho_{1} g} ln \frac{ \rho_{1}}{ \rho_{h}}$,
а с учетом выражений (5) и (7) запишем:
$h = \frac{P_{0}}{ \rho_{1} g} ln \frac{ \rho_{1}V}{m_{0} + \rho_{3} V} = \frac{P_{0}}{ \rho_{1} g} ln \frac{ \rho_{1}V}{ m_{0} + \rho_{1} T_{1} V/T_{2}}$. (9)
Подстановка числовых значений приводит к результату: $h \approx 843 м$.
г) При небольшой разности высот $\Delta h = 10 м$ по сравнению с высотой $h=843 м$ барометрическую формулу (8) можно представить в виде линейной функции:
$\rho_{h+ \Delta h} = \rho_{1} e^{ - \rho_{1} g ( h + \Delta h) / P_{0}} = \rho_{h} e^{ - \rho_{1} g \Delta h/P_{0}} \approx \rho_{h} (1 - \rho_{1} g \Delta h / P_{0}) $.
Следовательно, для шара, у которого отверстие закрыто, архимедова сила, действующая на него, равна
$F_{A} = \rho_{h + \Delta h} Vg$.
Изменение этой силы при малых изменениях высоты $\Delta h$ нетрудно рассчитать:
$\frac{ \Delta F_{A}}{ \Delta h} = - \frac{ \rho_{h} \rho_{1} g}{P_{0}} Vg$,
откуда
$\Delta F_{A} = - \frac{ \rho_{h} \rho_{1} g^{2}}{P_{0}} V \Delta h$.
Так как сила, действующая на шар, прямо пропорциональна смещению шара, то он совершает гармонические колебания, период которых равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{(m_{0} + \rho_{3} V)P_{0}}{ \rho_{h} \rho_{1} g^{2} V}} = \frac{2 \pi}{g} \sqrt{ \frac{(m_{0} + \rho_{3} V)P_{0}}{(m_{0} + \rho_{3} V) \rho_{1}}} = \frac{2 \pi}{g} \sqrt{ \frac{P_{0}}{ \rho_{1}}} \approx 186 с \approx 3 мин$.
При получении этого результата мы не учитывали сопротивление воздуха, которое, с одной стороны, приведет к тому, что колебания будут затухающими, а с другой стороны, период реальных колебаний будет несколько больше рассчитанного.
Отметим, что в связи с большим периодом колебаний шара (3 мин.) указанные поправки к полученному значению будут незначительными, так как сила сопротивления, зависящая от скорости, будет невелика.
Примечание. При решении этой части задачи мы не учитывали эффекта «присоединенной массы» воздуха.
